モンゴメリーのペア相関予想

数学において、モンゴメリーのペア相関予想は、ヒュー・モンゴメリー（1973 ）が提唱した予想であり、リーマンゼータ関数の零点のペア間のペア相関（平均間隔が1になるように正規化されている）は、 

${\displaystyle 1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{\!2},}$

これは、フリーマン・ダイソンが指摘したように、ランダムなエルミート行列のペア相関関数と同じである。

リーマン予想が正しいという仮定の下で。 ^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle \alpha \leq \beta }$固定されている場合、推測は次のとおりである。

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{T\to \infty }{\frac {\#\{(\gamma ,\gamma '):0<\gamma ,\gamma '\leq T{\text{ かつ }}2\pi \alpha /\log(T)\leq \gamma -\gamma '\leq 2\pi \beta /\log(T)\}}{{\frac {T}{2\pi }}\log {T}}}\\=\int \limits _{\alpha }^{\beta }1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{2}\mathrm {d} u+\delta (\alpha ,\beta ),\end{aligned}}}$

それぞれ${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$は、リーマンゼータ関数の非自明な零点の虚数部、すなわち${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma }$、 そして${\displaystyle \delta (\alpha ,\beta )=1}$もし${\displaystyle 0\in [\alpha ,\beta ]}$そして${\displaystyle \delta (\alpha ,\beta )=0}$さもないと。

非公式には、これは、ゼロ 1/2+ iTから距離 2π u / log ( T ) にある長さ 2π L / log( T ) の非常に短い区間でゼロを見つける確率が、上記の式の約L倍であることを意味します。(係数 2π/log( T ) は正規化係数であり、非公式には、虚部がT付近にあるゼロ間の平均間隔と考えることができます。) Andrew Odlyzko ( 1987 )は、この予想がゼロの大規模なコンピュータ計算によって裏付けられていることを示しました。この予想は、2 つ以上のゼロの相関、および保型表現のゼータ関数にも拡張されています( Rudnick & Sarnak 1996 )。 1982年、モンゴメリーの教え子であるアリ・エルハン・オズルクは、ディリクレのL関数のいくつかについて対相関予想を証明した（AEオズルク（1982 ））。  

ランダムユニタリ行列との関連は、リーマン予想（RH）の証明につながる可能性がある。ヒルベルト・ポリア予想は、リーマンゼータ関数の零点が線形演算子の固有値に対応し、RHを暗示していると主張している。一部の人々は、これが有望なアプローチだと考えている（アンドリュー・オドリツコ（1987 ））。 

モンゴメリーは、対相関関数のフーリエ変換F ( x ) を研究し、（リーマン予想を仮定して）| x | < 1の場合、それが | x | に等しいことを示した。彼の方法では | x | ≥ 1の場合を決定することはできなかったが、これらのxに対しては 1 に等しいと推測し、これは対相関関数が上記のとおりであることを意味するとした。彼はまた、リーマン予想は絶対的なものではなく、より強い推測を自由に行うべきだという考えにも動機づけられていた。

もう一度${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma }$そして${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma '}$は、リーマンゼータ関数の非自明な零点を表す。モンゴメリーは関数を導入した。

${\displaystyle F(\alpha ):=F_{T}(\alpha )=\left({\frac {T}{2\pi }}\log(T)\right)^{-1}\sum \limits _{0<\gamma ,\gamma '\leq T}T^{i\alpha (\gamma -\gamma ')}w(\gamma -\gamma ')}$

のために${\displaystyle T>2,\;\alpha \in \mathbb {R} }$およびいくつかの重み関数${\displaystyle w(u):={\tfrac {4}{(4+u^{2})}}}$。

モンゴメリーとゴールドストン^{[ 2 ]}は、リーマン予想の下で、${\displaystyle |\alpha |\leq 1}$この関数は一様に収束する

${\displaystyle F(\alpha )=T^{-2|\alpha |}\log(T)(1+{\mathcal {o}}(1))+|\alpha |+{\mathcal {o}}(1),\quad T\to \infty .}$

モンゴメリーは、現在F(α)予想または強いペア相関予想として知られる、${\displaystyle |\alpha |>1}$一様収束が見られます^{[ 3 ]}

${\displaystyle F(\alpha )=1+{\mathcal {o}}(1),\quad T\to \infty }$

のために${\displaystyle \alpha }$有界区間内。

1980年代、モンゴメリーの予想に触発され、オドリツコはζ( s )の零点の統計に関する集中的な数値研究を開始した。彼は詳細な数値計算を用いて非自明な零点間の間隔の分布を確認し、モンゴメリーの予想が正しいこと、そしてその分布がCray X-MPを用いたGUEランダム行列の固有値の間隔の分布と一致することを示した。1987年、彼はその計算結果を論文Andrew Odlyzko ( 1987 )で報告した。 

非自明なゼロ、1/2 + i γ _nに対して、正規化された間隔を次のようにする。

${\displaystyle \delta _{n}={\frac {\gamma _{n+1}-\gamma _{n}}{2\pi }}\,{\log {\frac {\gamma _{n}}{2\pi }}}.}$

すると、極限として次の式が期待されます。${\displaystyle M,N\to \infty }$:

${\displaystyle {\frac {1}{M}}\{(n,k)\mid N\leq n\leq N+M,\,k\geq 0,\,\delta _{n}+\delta _{n+1}+\cdots +\delta _{n+k}\in [\alpha ,\beta ]\}\sim \int _{\alpha }^{\beta }\left(1-{\biggl (}{\frac {\sin {\pi u}}{\pi u}}{\biggr )}^{2}\right)du}$

オドリツコとアーノルド・シェーンハーゲが開発した新しいアルゴリズムに基づいて、平均時間t ^εステップでζ(1/2 + i t ) の値を計算できるようになったオドリツコは、高さが 10 ²⁰付近にある数百万個のゼロを計算し、GUE 予想の証拠をいくつか示しました。^{[ 4 ] [ 5 ]}

この図には、リーマンゼータ関数の最初の10⁵個の非自明な零点が示されています^。サンプリングされる零点の数が増えるほど、それらの分布はGUEランダム行列の形状に近似していきます。

• ブラウン運動とリーマンゼータ関数
• レーマーペア

• Ozluk, AE (1982)、「ディリクレL関数の零点のペア相関」、博士論文、アナーバー：ミシガン大学、MR 2632180 
• Katz, Nicholas M. ; Sarnak, Peter (1999)、「ゼータ関数の零点と対称性」、Bulletin of the American Mathematical Society、新シリーズ、36 (1): 1–26、doi : 10.1090/S0273-0979-99-00766-1、ISSN 0002-9904、MR 1640151  
• Montgomery, Hugh L. (1973)、「ゼータ関数の零点のペア相関」、解析的整数論、純粋数学シンポジウム論文集、第 XXIV巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp. 181–193、MR 0337821  
• Odlyzko, AM (1987)、「ゼータ関数の零点間の間隔の分布について」、Mathematics of Computation、48 (177): 273–308、doi : 10.2307/2007890、ISSN 0025-5718、JSTOR 2007890、MR 0866115   
• Rudnick, Zeév; Sarnak, Peter (1996)、「主L関数の零点とランダム行列理論」、Duke Mathematical Journal、81 (2): 269–322、doi : 10.1215/S0012-7094-96-08115-6、ISSN 0012-7094、MR 1395406