モーメントマグニチュードスケール

20世紀初頭には、地震がどのように発生するか、地震波がどのように発生して地殻を伝播するか、地震波が地震の破壊過程についてどのような情報を伝えるかについてはほとんど知られていませんでした。そのため、最初のマグニチュードスケールは経験的なものでした。^{[ 4 ]}地震のマグニチュードを経験的に決定する最初のステップは、1931年に日本の地震学者である和田清雄が、地震の地震波の最大振幅が距離とともに一定の割合で減少することを示したときに始まりました。^{[ 5 ]}その後、チャールズ・F・リヒターは、震央距離（およびその他のいくつかの要因）を調整する方法を考案し、地震計の波形の振幅の対数を、内部的に一貫性があり、地震のエネルギーの推定値とほぼ一致する「マグニチュード」の尺度として使用できるようにしました。^{[ 6 ]}彼は基準点と各マグニチュードの10倍（指数関数的）スケールを確立し、1935年に彼が「マグニチュードスケール」と呼んだものを発表しました。これは現在ではローカルマグニチュードスケールと呼ばれ、M _Lと表記されています。^{[ 7 ]} （このスケールはリヒタースケールとしても知られていますが、ニュースメディアは他の類似のスケールを指す際にこの用語を無差別に使用することがあります。）

ローカルマグニチュードスケールは、表面波が卓越する、深さ約15 km (9 mi)、中規模、距離約100～600 km (62～373 mi)の浅い地震に基づいて開発されました。深さ、距離、またはマグニチュードが大きくなると、表面波は大幅に減少し、ローカルマグニチュードスケールはマグニチュードを過小評価します。これは飽和と呼ばれる問題です。MLスケール^の欠点を克服するために、追加のスケールが開発されました^{[ 8 ] –} 1945年にベノ・グーテンベルクによって開発された表面波マグニチュードスケール( M _s ) 、 ^[ 9] 1956年にグーテンベルクとリヒターによって開発された^実体波マグニチュードスケール( mB )_、[ ^{10 ]}およびいくつかの変種^{[ 11 ]}特に問題だったのは、M _sスケール (1970 年代に好まれたマグニチュード スケール) がM _s 8.0付近で飽和し、そのため1960 年のチリ地震や1964 年のアラスカ地震のような「巨大」地震のエネルギー放出を過小評価してしまうことでした^{[ 12 ]}。これらの地震のM _sマグニチュードはそれぞれ 8.5 と 8.4 でしたが、他の M 8 の地震よりも著しく強力で、モーメント マグニチュードはそれぞれ 9.6 と 9.3 に近いものでした^{[ 13 ] 。}    

地震の研究は、震源現象を直接観測できないため困難であり、地震の地震波が震源現象について何を教えてくれるかを理解するための数学を開発するのに何年もかかりました。初期のステップは、さまざまな力のシステムが、地震で観測されるものと同じ地震波をどのように生成するかを決定することでした。^{[ 14 ]}

最も単純な力系は、物体に作用する単一の力です。抵抗を克服するのに十分な強さがあれば、物体は移動します（「並進」します）。同じ「作用線」に沿って反対方向に作用する一対の力は相殺されます。それらが完全に相殺（釣り合う）すれば、物体は張力または圧縮のいずれかの応力を受けますが、正味の並進はありません。一対の力がオフセットされ、平行だが別々の作用線に沿って作用する場合、物体は回転力、つまりトルクを受けます。力学（力の相互作用を扱う物理学の分野）では、このモデルは偶力、単純偶力、または単一偶力と呼ばれます。大きさが等しく反対の2番目の偶力が加えられると、それらのトルクは相殺されます。これは二重偶力と呼ばれます。^{[ 15 ]}二重偶力は、「直角に同時に作用する圧力と張力に相当する」と考えることができます。^{[ 16 ]}

単一偶力モデルと二重偶力モデルは、地震学において重要である。なぜなら、それぞれを用いて、地震によって発生した地震波が「遠方場」（つまり、離れた場所）でどのように現れるかを導き出すことができるからである。この関係が理解できれば、それを逆算することで、観測された地震波から、断層の形状や地震モーメントなど、地震の他の特性を決定することができる。

1923年、中野博は地震波の特定の側面が二重偶力モデルで説明できることを示した。^{[ 17 ]}これにより、地震源を単一偶力としてモデル化するか、二重偶力としてモデル化するかという、30年にわたる論争が始まった。 ^{[ 15 ]}日本の地震学者は二重偶力を支持したが、ほとんどの地震学者は単一偶力を支持した。^{[ 18 ]}単一偶力モデルにはいくつかの欠点があったものの、より直感的であるように思われ、地震が発生する理由を説明する弾性反発理論には単一偶力モデルが必要であるという考えがあった（結果的には誤りであった）。^{[ 19 ]}原理的には、これらのモデルはS波の放射パターンの違いによって区別できるはずだったが、観測データの質が不十分であった。^{[ 20 ]}

丸山（1963）、ハスケル（1964）、およびバリッジとクノポフ（1964）が、地震の断層破壊を転位としてモデル化すると、地震波の放射パターンは常に二重偶力から導出された等価パターンと一致するが、単一偶力からは一致しないことを示したことで、議論は終結した。^{[ 21 ]}これは、世界標準地震計ネットワーク（WWSSN）から得られるより良質で豊富なデータによって地震波のより詳細な解析が可能になったことで確認された。特に、1966年に秋慶一は、二重偶力に基づいて地震波から計算された1964年新潟地震の地震モーメントが、観測された物理的転位から計算された地震モーメントと合理的に一致することを示した。^{[ 22 ]}

二重偶力モデルは地震の遠方場における地震波放射パターンを説明するには十分だが、地震の震源メカニズムの性質や物理的特徴についてはほとんど何も教えてくれない。^{[ 23 ]}断層に沿った滑りが地震の原因として理論化されていたが（他の理論にはマグマの移動や相変化による体積の急激な変化などがあった^{[ 24 ]}）、これを深部で観測することは不可能であり、地震波から震源メカニズムについて何がわかるかを理解するには震源メカニズムの理解が必要である。^{[ 4 ]}

地震が地震波を発生させる物理的プロセスをモデル化するには、1907 年にイタリアのヴィト・ヴォルテラによって初めて定式化され、 1927 年にEH ラブによってさらに発展した転位理論の多くの理論的発展が必要でした。 ^{[ 25 ]}材料の応力の問題に一般的に適用され、^{[ 26 ]} 1951 年にF. ナバロによって拡張されたものは、ロシアの地球物理学者 NV ヴェデンスカヤによって地震断層に適用できると認識されました。^{[ 27 ]} 1956 年以降に始まった一連の論文で、彼女と他の同僚は転位理論を使用して地震の震源メカニズムの一部を決定し、転位（滑りを伴う破壊）が実際に二重偶力に相当することを示しました。^{[ 28 ]}

1958年に発表された2つの論文で、JA Steketeeは転位理論と地球物理学的特徴を関連付ける方法を考案した。^{[ 29 ]}他の多くの研究者が詳細を解明し、^{[ 30 ]} 1964年にBurridgeとKnopoffによって、二重偶力と弾性反発理論の関係を確立し、地震の物理的特徴と地震モーメントを関連付ける基礎を提供する一般的な解決策が確立された。^{[ 31 ]}

地震モーメント（記号M ₀）は、地震に関与する断層の滑りと面積の尺度です。その値は、地震の等価二重偶力を形成する 2 つの力偶のそれぞれのトルクです。 ^{[ 32 ]} （より正確には、二重偶力の力成分を記述する2 階モーメントテンソルのスカラー値です^{。 [ 33 ]} ）地震モーメントは、ニュートンメートル(N·m) またはジュール、あるいは（古いCGS単位系では）ダインセンチメートル (dyn-cm)の単位で測定されます^{。 [ 34 ]}

地震のモーメントを地震波から初めて計算したのは、1964年の新潟地震の秋慶一氏である。^{[ 35 ]}彼はこれを2つの方法で行った。まず、WWSSNの遠方の観測所のデータを使用して、長周期（200秒）の地震波（波長約1,000キロメートル）を解析し、地震の等価二重偶力の大きさを決定した。^{[ 36 ]}次に、彼は、転位に関するBurridgeとKnopoffの研究を利用して、滑り量、放出されたエネルギー、および応力降下（本質的には、どれだけのポテンシャルエネルギーが放出されたか）を決定した。^{[ 37 ]}特に、彼は地震のモーメントをその物理的パラメータに関連付ける方程式を導出した。

M ₀ = μ u ̄ S

ここで、μは、平均変位 (距離) ūにわたる表面積Sの断層の剛性 (または移動に対する抵抗) である。(現代の定式化では、ū S を等価なD̄ Aに置き換えており、これは「幾何学的モーメント」または「ポテンシー」として知られている。^{[ 38 ]} ) この式により、地震波の二重偶力から決定されたモーメントは、断層滑りの表面積と滑り量の知識から計算されたモーメントと関連付けることができる。新潟地震の場合、地震モーメントから推定された変位は、観測された変位と合理的に近似していた。^{[ 39 ]}

地震モーメントは、地殻の非弾性（永久）変位または歪みをもたらす仕事（より正確にはトルク）の尺度です。 ^{[ 40 ]}これは、地震によって放出される総エネルギーに関連しています。しかし、地震の威力または潜在的な破壊力は、（他の要因の中でも特に）総エネルギーのうちどれだけが地震波に変換されるかに依存します。^{[ 41 ]}これは通常、総エネルギーの10%以下であり、残りは岩石の破壊または摩擦の克服（熱の発生）に費やされます。^{[ 42 ]}

それにもかかわらず、地震モーメントは地震規模の基本的な尺度とみなされており、^{[ 43 ]}他のパラメータよりも地震の物理的な規模をより直接的に表している。^{[ 44 ]} 1975年にはすでに「最も信頼性高く測定された地震発生源パラメータの1つ」と考えられていた。^{[ 45 ]}

1) Mwスケールはもともと南カリフォルニアの地震のために開発・較正されたものであり、すべての地殻変動地域への普遍的な適用可能性については現在も研究が続けられている。

2) 地球規模でMwスケールを7.5未満で使用することは数学的に誤りである

3) Mwスケールの導出は、地震モーメントとエネルギーの関係における定数に依存します。異なる定数を用いると、異なるマグニチュードMwスケールが得られる可能性があります。

4) Mwスケールの元の導出は主に浅い表面波が卓越する地震に基づいており、中深度および深発地震への適用性について懸念が生じている。

5. Mwは低等級や中等級では一貫性が低く、他の等級スケール（mbやMsなど）と必ずしも一致するとは限りません。

6. Mwは地震モーメントに基づいており、放射された地震エネルギーの一貫した尺度を常に提供するとは限りません。

7) 元のマグニチュード（M）とモーメントマグニチュード（Mw）は同一ではなく、MwはMと約0.03マグニチュード単位だけ異なります。

ほとんどの地震規模スケールは、標準的な距離と周波数帯域で発生する波の振幅の比較しか提供しないという問題を抱えており、これらの規模を地震の物理的特性と関連付けることは困難でした。グーテンベルクとリヒターは、放射エネルギー E _{s は}次のように推定できると提案しました。

$\displaystyle \log _{10}E_{s}\approx 4.8+1.5M_{S}}$、

（ジュール単位）。残念ながら、非常に大きな地震の多くは、M _sの測定に使用される表面波の周期である 20 秒よりも長く継続しました。このため、1960 年のチリ地震 (M 9.5) のような巨大地震には、M _s 8.2しか割り当てられませんでした。カリフォルニア工科大学の地震学者、金森博夫^{[ 46 ]}はこの欠点を認識し、放射エネルギーの推定値に基づいてマグニチュードM _wを定義するという、単純だが重要なステップを踏みました。ここで「w」は仕事 (エネルギー) を表します。

${\displaystyle M_{w}=2/3\log _{10}E_{s}-3.2}$

金森氏は、放射エネルギーの測定は周波数帯域全体にわたる波動エネルギーの積分を伴うため技術的に困難であることを認識していた。この計算を簡略化するために、スペクトルの最低周波数部分を使用してスペクトルの残りの部分を推定できることが多いことに気づいた。地震スペクトルの最低周波数漸近線は、地震モーメントM ₀によって特徴付けられる。放射エネルギーと地震モーメントの間の近似関係（応力降下は完全であり、破壊エネルギーは無視されていると仮定）を使用すると、

${\displaystyle E_{s}\approx M_{0}/(2\times 10^{4})}$

（Eはジュール、M₀はニュートン_）${\displaystyle \cdot }$m) 金森はM _{w を}次のように近似した。

${\displaystyle M_{w}=(\log _{10}M_{0}-9.1)/1.5}$

上記の式によってエネルギーベースのマグニチュードM _{w の}推定ははるかに容易になったが、スケールの根本的な性質がモーメントマグニチュードスケールへと変化した。米国地質調査所の地震学者トーマス・C・ハンクスは、金森のM _{wスケールは、} Thatcher & Hanks (1973)が報告したM _LとM ₀の関係と非常によく似ていると指摘した。

${\displaystyle M_{L}\approx (\log _{10}M_{0}-9.0)/1.5}$

ハンクスとカナモリ（1979）は、地震モーメントの推定値に基づいて新しいマグニチュードスケールを定義するために、彼らの研究を統合した。

${\displaystyle M=(\log _{10}M_{0}-9.05)/1.5}$

どこ${\displaystyle M_{0}}$はニュートンメートル（N・m）で定義されます。

マグニチュード値の重要性を説得力のあるものにするために、地震時に放出される地震エネルギーは、従来の化学爆薬であるTNTの効果と比較されることがある。${\displaystyle E_{\mathrm {S} }}$グーテンベルクとリヒターによる上記の式からの結果

${\displaystyle E_{\mathrm {S} }=10^{\;\!1.5\cdot M_{\mathrm {S} }+4.8}}$

あるいは広島型原爆に転用されたもの：

${\displaystyle E_{\mathrm {S} }={\frac {10^{\;\!1.5\cdot M_{\mathrm {S} }+4.8}}{5.25\cdot 10^{13}}}=10^{\;\!1.5\cdot M_{\mathrm {S} }-8.92}}$

地震エネルギー（ジュール）と対応する爆発エネルギーを比較するために、TNT 1 トンあたり 42 億ジュールという値が適用されます。表^{[ 55 ]}は、地震エネルギーとモーメント マグニチュードの関係を示しています。

スケールの端は10.6の値で、この値では地球の地殻が完全に分裂しなければならないという仮定に対応しています。^{[ 56 ]}