モーメントマグニチュードスケール

モーメントマグニチュード尺度（MMS ; 明示的にはM、 M _w 、Mwgで示され、通常はマグニチュードを表す単一のMの使用で暗示される^[1]）は、地震のマグニチュード（「大きさ」または強さ）を地震モーメントに基づいて測定する尺度である。M _{w は}、  1979年の論文でトーマス・C・ハンクスと金森弘夫によって定義された。チャールズ・フランシス・リヒターが1935年に定義したローカルマグニチュード/リヒタースケール（M _L  ）と同様に、対数スケールを使用する。つまり、小さな地震は両方のスケールでほぼ同じマグニチュードになる。違いがあるにもかかわらず、ニュースメディアではモーメントマグニチュード尺度を指すときに「リヒタースケール」という用語がよく使用される。

モーメントマグニチュード（M _w  ）は、地震を大きさでランク付けするための権威あるマグニチュードスケールであると考えられています。世界中の中小規模の地震を測定するには大きな制限があります^[2]。他のスケールよりも地震のエネルギーに直接関連しており、飽和しません。つまり、特定の状況下で他のスケールのようにマグニチュードを過小評価しません^{[3] 。}米国地質調査所^[4]などの地震学当局が、大地震（通常M> 4）を報告するために使用する標準スケールとなり、ローカルマグニチュード（M _L  ）と表面波マグニチュード（M _s  ）スケールに取って代わりました。モーメントマグニチュードスケールのサブタイプ（M _ww など）は、地震モーメントを推定するさまざまな方法を反映しています。

20 世紀初頭、地震がどのように起こるか、地震波がどのように発生し地殻を伝播するか、地震波が地震破壊過程についてどのような情報をもたらすかについてはほとんどわかっていなかったため、最初のマグニチュード尺度は経験的なものでした。^[5]地震のマグニチュードを経験的に決定する最初のステップは、1931 年に日本の地震学者和達清雄が地震の地震波の最大振幅が距離とともに一定の割合で減少することを示したときに始まりました。^{[6]その後、} チャールズ F. リヒターは、震源距離 (およびその他のいくつかの要因) を調整する方法を考え出し、地震計のトレースの振幅の対数を、内部的に一貫性があり、地震のエネルギーの推定値とほぼ一致する「マグニチュード」の尺度として使用できるようにしました。^[7]彼は基準点と各マグニチュード度の10倍（指数関数的）スケーリングを確立し、1935年に彼が「マグニチュードスケール」と呼んだもの（現在はローカルマグニチュードスケールと呼ばれ、M _Lと表記）を発表しました 。^{[8] （このスケールは}リヒタースケールとしても知られていますが、ニュースメディアは他の同様のスケールを指すためにこの用語を無差別に使用することがあります。）

局所マグニチュードスケールは、約100～600 km（62～373マイル）の距離で発生する浅い（深さ約15 km（9マイル））中規模の地震、つまり表面波が卓越する状況に基づいて開発された。より深いところ、より遠いところ、またはマグニチュードでは表面波が大幅に減少し、局所マグニチュードスケールではマグニチュードを過小評価する、いわゆる飽和と呼ばれる問題が生じる。M L スケールの欠陥を克服するために、追加のスケールが開発された^[9] － 1945年にベノ・グーテンベルクによる表面波マグニチュードスケール（M _s ^{）、 [10]} 1956年にグーテンベルクとリヒターによる実体波マグニチュードスケール（mB ^{）、 [11]}およびいくつかのバリエーション[ ₁₂ ^]－  しかし、すべて飽和の影響を受ける。特に問題だったのは、M _s  スケール（1970 年代に好まれたマグニチュードスケール）が M _{s 8.0 付近で飽和し、} 1960 年のチリ地震や1964 年のアラスカ地震など の「巨大」地震のエネルギー放出を過小評価してしまうことだった^{[13] 。これらの地震の M} _sマグニチュードはそれぞれ 8.5 と 8.4だった  が、他の M 8 地震よりも明らかに強力だった。そのモーメントマグニチュードはそれぞれ 9.6 と 9.3 に近かった^{[14] 。}

地震の研究は、震源現象を直接観察することができないため困難であり、地震の地震波が震源現象について何を語っているかを理解するための数学を開発するのに何年もかかりました。初期のステップは、異なる力のシステムがどのように地震で観測される地震波と同等の地震波を生成するかを決定することでした。^[15]

最も単純な力のシステムは、物体に作用する単一の力です。その力が抵抗を克服するのに十分な強さであれば、物体は移動します（「並進」）。同じ「作用線」に反対方向に作用する一対の力は相殺されます。それらが正確に相殺（バランス）されると、正味の並進は発生しませんが、物体は張力または圧縮のいずれかの応力を受けます。一対の力が相殺され、平行だが別々の作用線に沿って作用する場合、物体は回転力、つまりトルクを受けます。力学（力の相互作用に関する物理学の分野）では、このモデルはカップル、または単純カップル、またはシングルカップルと呼ばれます。大きさが等しく反対の2番目のカップルが適用されると、それらのトルクは相殺されます。これはダブルカップルと呼ばれます。^[16]ダブルカップルは、「直角に同時に作用する圧力と張力に相当」と見なすことができます。^[17]

シングルカップルモデルとダブルカップルモデルは、地震学において重要です。なぜなら、それぞれを使用して、地震によって生成された地震波が「遠方場」（つまり、離れた場所）でどのように現れるかを導き出すことができるからです。この関係が理解されると、それを逆転させて、地震の観測された地震波を使用して、断層の形状や地震モーメントなどの他の特性を決定できます。^{[引用が必要]}

1923年、中野宏は地震波の特定の側面が二重カップルモデルで説明できることを示した。^[18]これにより、地震源を単一カップルとしてモデル化するか、二重カップルとしてモデル化するかという30年にわたる論争が起こった。[ ^{16]日本の地震学者は二重カップルを支持したが、ほとんどの地震学者は単一カップルを支持した。 [19]単一カップルモデルにはいくつかの欠点があったが、より直感的であると思われ、地震が起こる理由を説明する}弾性反発理論には単一カップルモデルが必要であるという信念があったが、それは結局間違いだった。 ^{[20]原理的には、これらのモデルは}S波の放射パターンの違いによって区別できるが、観測データの質はそれには不十分であった。^[21]

この論争は、丸山 (1963)、ハスケル (1964)、バーリッジとノポフ (1964) が、地震の破壊を変位としてモデル化すると、地震波のパターンは常に二重カップルから得られる同等のパターンと一致するが^[要出典] 、単一カップルからは一致しないことを示したことで終結した。^{[22]これは}、世界標準地震計ネットワーク(WWSSN)から得られるより高品質で豊富なデータによって地震波のより詳細な分析が可能になったことで確認された。特に、1966 年に安芸敬一は、二重カップルに基づいて地震波から計算された 1964 年新潟地震の地震モーメントが、観測された物理的変位から計算された地震モーメントと十分に一致することを示した。^[23]

二重カップルモデルは、地震の遠方場における地震波放射のパターンを説明するのに十分であるが、地震の震源メカニズムの性質や物理的特徴についてはほとんど何も教えてくれない。^[24]断層に沿った滑りが地震の原因であると理論づけられているが（他の理論としては、マグマの移動や相変化による体積の急激な変化などがある^[25]）、これを深部で観測することは不可能であり、地震波から震源メカニズムについて何がわかるかを理解するには、震源メカニズムを理解する必要がある。^[5]

地震が地震波を生成する物理的プロセスをモデル化するには、 1907年にイタリアのヴィト・ヴォルテッラによって最初に定式化され、 1927年にEHラブによってさらに発展した転位理論の理論的発展が必要でした。 ^[26]より一般的には材料の応力の問題に適用され、^{[27] 1951年に}F.ナバロによって拡張され、ロシアの地球物理学者AVヴヴェデンスカヤによって地震断層に適用できることが認識されました。^[28] 1956年に始まった一連の論文で、彼女と他の同僚は転位理論を使用して地震の震源メカニズムの一部を決定し、転位（滑りを伴う破壊）が実際に二重カップルに相当することを示しました。^[29]

1958年の2本の論文で、JAステケティーは転位理論と地球物理学的特徴を関連付ける方法を考案しました。^[30]他の多くの研究者が他の詳細を解明し、^[31] 1964年にバーリッジとノポフによって一般的な解決策が導き出されました。この解決策は、二重カップルと弾性反発理論の関係を確立し、地震の物理的特徴と地震モーメントを関連付ける基礎を提供しました。^[32]

地震モーメント（記号M ₀   ）は、地震に関係する断層のすべりと面積の尺度である。その値は、地震の等価二重カップルを形成する2つの力のカップルのそれぞれのトルクである。 ^[33]（より正確には、二重カップルの力の成分を表す2次モーメントテンソルのスカラー量である。 ^[34]）地震モーメントは、ニュートンメートル（N·m）またはジュール、または（古いCGSシステムでは）ダインセンチメートル（dyn-cm）の単位で測定される。 ^[35]

地震の地震モーメントを地震波から初めて計算したのは、1964年の新潟地震のときでした。[ 36 ]^彼はこれを2つの方法で行いました。まず、WWSSNの遠隔観測点からのデータを使用して長周期（200秒）地震波（波長約1,000キロメートル）を分析し、地震の等価二重カップルのマグニチュードを決定しました。^[37]次に、バーリッジとノップフの転位に関する研究を参考にして、滑り量、解放されたエネルギー、応力降下（基本的に、どれだけの位置エネルギーが解放されたか）を決定しました。^[38]特に、彼は地震の地震モーメントとその物理的パラメータを関連付ける方程式を導きました。

M ₀ = μūS

ここで、μ は、断層の表面積Sが平均変位 (距離) ūにわたって示す剛性 (または移動に対する抵抗) です。 (現代の定式化では、 ūS は同等のD̄Aに置き換えられ、「幾何学的モーメント」または「ポテンシー」として知られています。^[39] ) この式により、地震波の二重対から決定されたモーメントは、断層の滑り面積と滑り量から計算されたモーメントと関連付けることができます。新潟地震の場合、地震モーメントから推定された変位は、観測された変位にかなり近似していました。^[40]

地震モーメントは、地殻の非弾性（永久的）変位または歪みをもたらす仕事（より正確にはトルク）の尺度です。 ^[41]これは地震によって放出される総エネルギーに関連しています。しかし、地震の威力または潜在的な破壊力は（他の要因の中でも）総エネルギーのうちどれだけが地震波に変換されるかに依存します。^[42]これは通常、総エネルギーの10％以下であり、残りは岩石を破砕するか摩擦を克服（熱を発生させる）するために費やされます。^[43]

それにもかかわらず、地震モーメントは地震の規模を測る基本的な尺度とみなされており、^[44]他のパラメータよりも地震の物理的規模をより直接的に表している。^[45] 1975年には早くも「最も信頼性のある計測による地震源パラメータの1つ」と考えられていた。^[46]

ほとんどの地震マグニチュードスケールは、標準的な距離と周波数帯域で発生した波の振幅の比較しか提供していないという欠点があった。これらのマグニチュードを地震の物理的特性と関連付けることは困難であった。グーテンベルクとリヒターは、放射エネルギーE _{s は}次のように推定できると 示唆した。

${\displaystyle \log _{10}E_{s}\approx 4.8+1.5M_{S},}$

（ジュール単位）。残念ながら、非常に大きな地震の多くは、M _sの測定に使われる表面波の周期である20秒よりも長い継続時間でした 。つまり、1960年のチリ地震（M 9.5）のような巨大地震には、M _s  8.2しか割り当てられませんでした。カリフォルニア工科大学の地震学者、金森弘夫氏^{[47]はこの欠陥を認識し、放射エネルギーM} _wの推定値に基づいてマグニチュードを定義するという単純だが重要なステップを踏みました 。ここで「w」は仕事（エネルギー）を表します。

${\displaystyle M_{w}=2/3\log _{10}E_{s}-3.2}$

金森は、放射エネルギーの測定は、全周波数帯域にわたる波のエネルギーの積分を伴うため、技術的に難しいことを認識していました。この計算を簡素化するために、彼は、スペクトルの最低周波数部分を使用して、スペクトルの残りの部分を推定できることが多いことに気付きました。地震スペクトルの最低周波数漸近線は、地震モーメント、M ₀によって特徴付けられます 。放射エネルギーと地震モーメント（応力降下が完全であると仮定し、破壊エネルギーを無視）の間の近似関係を使用すると、

${\displaystyle E_{s}\approx M_{0}/(2\times 10^{4})}$

（ここでEはジュール、M ₀  はN m）金森はM _wを  次のように 近似した。${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle M_{w}=(\log _{10}M_{0}-9.1)/1.5}$

上記の式により、エネルギーベースのマグニチュードM _{w の}推定がはるかに容易になりました が、スケールの基本的な性質がモーメントマグニチュードスケールに変更されました。USGSの地震学者トーマス・C・ハンクスは、カナモリのM _wスケールが  、サッチャーとハンクス（1973）によって報告された M _L  とM ₀  の関係に非常に似ていることを指摘しました。

${\displaystyle M_{L}\approx (\log _{10}M_{0}-9.0)/1.5}$

ハンクスとカナモリ（1979）は、地震モーメントの推定値に基づいて新しいマグニチュードスケールを定義するために彼らの研究を統合した。

${\displaystyle M=(\log _{10}M_{0}-9.05)/1.5}$

ここで、はニュートンメートル（N·m）で定義されます。 ${\displaystyle M_{0}}$

モーメントマグニチュードは現在、中規模から大規模の地震の規模を測る最も一般的な尺度となっているが^{[48] [要出典]}、実際には、その基礎となる地震学的パラメータである地震モーメント（M ₀  ）は、小規模の地震では日常的に測定されていない。例えば、米国地質調査所は、地震の大部分を占めるマグニチュード3.5未満の地震にはこの尺度を使用していない^[要出典]。

一般的な報道では、M4以上の大きな地震が取り上げられることが多い。これらの地震では、 リヒターの局所マグニチュードM _{Lではなく、モーメントマグニチュードM w}が推奨される 。^{[49] [4]}

モーメントマグニチュードの記号はM _wで 、添え字の「w」は達成された機械的仕事を意味する。モーメントマグニチュードM _wは金森弘夫^[50]によって定義された無次元値  である。

${\displaystyle M_{\mathrm {w} }={\frac {2}{3}}\log _{10}(M_{0})-10.7,}$

ここで、M _{0 は}、ダイン⋅cm（10 ⁻⁷ N⋅m）単位  の地震モーメントである 。^[51]式中の定数値は、局所マグニチュードや表面波マグニチュードなどの以前のスケールで生成されたマグニチュード値と一貫性を保つように選択されている。したがって、マグニチュードゼロの微小地震の地震モーメントは約1.1 × 10 ⁹  N⋅mであるのに対し、 1960年のチリ大地震のモーメントマグニチュードは9.4～9.6と推定され、1.4 × 10 ²³  N⋅mおよび2.8 × 10 ²³  N⋅m .

地震モーメントマグニチュード（M _wgまたは Das マグニチュードスケール）とモーメントマグニチュード（M _w）スケール

M _oに基づくマグニチュードスケールを理解するために、M _wgおよびM _wスケール の詳細な背景を以下に示します。

M _wスケール

金森宏夫^[50]は、グーテンベルク・リヒター方程式(1)を用いて大地震のマグニチュードスケール(Log W ₀  = 1.5 M _w  + 11.8、ここでW ₀は最小ひずみエネルギー)を定義した。

ログ Es = 1.5 Ms + 11.8 (A)

金森宏夫^[50]は、E _s (dyn.cm)の代わりにW _0を使用し、式(A)の定数項( W ₀ / M _o  = 5 × 10 ^{−5 )を考慮して}M _{sを推定し、} M _w (dyn.cm)と表記した。エネルギー式(A)は、 エネルギー式Log E  = 5.8 + 2.4 m (Richter 1958)にm = 2.5 + 0.63 Mを代入して導出され、ここでmはグーテンベルク統一マグニチュード、Mは表面波マグニチュードから決定されるマグニチュードの最小二乗近似値である。地震エネルギー( E )と地震モーメント( M _o )の比、すなわちE / M _o  = 5 × 10 ⁻⁵をグーテンベルク-リヒターエネルギーマグニチュード式(A)に置き換えた後、Hanksと金森^[51]は式(B)を示した。

ログM0 = 1.5 Ms + 16.1 (B)

式(B)は既に金森宏夫^{[50]によって導出されており、} M _wと名付けられていることに注意されたい。式(B)は大地震に基づいていたため、中規模地震および小規模地震に対する式(B)の妥当性を確認するために、HanksとKanamori(1979)は、マグニチュード5.0 ≤  M _s  ≤ 7.5について、この式(B)をPercaruとBerckhemer(1978)の式(1)と比較した(Hanks and Kanamori 1979)。 Percaru と Berckhemer (1978) の式 (1) は、マグニチュード範囲 5.0 ≤  M _s  ≤ 7.5 については、定義されたマグニチュード範囲の不一致 (中規模から大規模の地震はM _s  ≤ 7.0 およびM _s  = 7–7.5 と定義) と、世界的な地震活動をほとんど表さない低マグニチュード範囲 (≤ 7.0) のデータが乏しい (例えば、Percaru と Berckhemer 1978 の図 1A、B、4、表 2 を参照) ため、信頼できない。さらに、Percaru と Berckhemer 1978 の式 (1) は (≤ 7.0) に対してのみ有効である。^[52]

地震モーメントは地震中のエネルギー変化を直接測定するものではない。地震モーメントと地震に関係するエネルギーの関係は、大きな不確実性があり、地震ごとに変化する可能性のあるパラメータに依存する。位置エネルギーは、蓄積された応力と重力エネルギーにより、弾性エネルギーの形で地殻に蓄えられる。^[53]地震中、この蓄えられたエネルギーの一部は、 ${\displaystyle \Delta W}$

• 亀裂の形成などのプロセスによって岩石の摩擦弱化と非弾性変形で散逸するエネルギー${\displaystyle E_{f}}$
• 熱${\displaystyle E_{h}}$
• 放射された地震エネルギー${\displaystyle E_{s}}$

地震によって生じる位置エネルギーの低下は、地震モーメントとほぼ次のように関係している。

${\displaystyle \Delta W\approx {\frac {\overline {\sigma }}{\mu }}M_{0}}$

ここで、 は地震前後の断層の絶対せん断応力の平均であり(例: Venkataraman & Kanamori 2004 の式 3)、 は断層を構成する岩石のせん断弾性係数の平均です。現在、対象となるすべての深さで絶対応力を測定する技術も、それを正確に推定する方法もないため、あまりわかっていません。絶対応力は地震ごとに大きく異なる可能性があります。同一だが異なる2 つの地震では、異なる が解放されることになります。 ${\displaystyle {\overline {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\overline {\sigma }}}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle {\overline {\sigma }}}$${\displaystyle \Delta W}$

地震によって放射されるエネルギーは、地震モーメントとほぼ相関関係にある。

${\displaystyle E_{\mathrm {s} }\approx \eta _{R}{\frac {\Delta \sigma _{s}}{2\mu }}M_{0}}$

ここで、は放射効率、 は静的応力降下、すなわち地震前と地震後の断層のせん断応力の差です（例えば、Venkataraman & Kanamori 2004 の式 1 より）。これら 2 つの量は定数からは程遠いものです。例えば、 は破壊速度に依存します。これは通常の地震の場合は 1 に近くなりますが、津波地震やスロー地震などの遅い地震の場合ははるかに小さくなります。 または が同じだが異なる2 つの地震は、異なる を放射したでしょう。 ${\displaystyle \eta _{R}=E_{s}/(E_{s}+E_{f})}$${\displaystyle \Delta \sigma _{s}}$${\displaystyle \eta _{R}}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle \eta _{R}}$${\displaystyle \Delta \sigma _{s}}$${\displaystyle E_{\mathrm {s} }}$

と は地震源の根本的に独立した特性であり、 は1970年代よりも直接的かつ確実に計算できるようになったため、放射エネルギーに関連する別のマグニチュードを導入することが正当化された。チョイとボートライトは1995年にエネルギーマグニチュードを定義した^{[54] 。}${\displaystyle E_{\mathrm {s} }}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle E_{\mathrm {s} }}$

${\displaystyle M_{\mathrm {E} }=\textstyle {\frac {2}{3}}\log _{10}E_{\mathrm {s} }-3.2}$

ここでの単位は J (N·m) です。 ${\displaystyle E_{\mathrm {s} }}$

σ̄/μの値がすべての地震で同じであると仮定すると、M _{w は地震によって引き起こされる潜在的エネルギー変化 Δ} W  の尺度と見なすことができます。同様に、がすべての地震で同じであると仮定すると、M _{w は}地震によって放射される  エネルギーE _sの尺度と見なすことができます。 ${\displaystyle \eta _{R}\Delta \sigma _{s}/2\mu }$

_{これらの仮定の下で、M w を}  定義する方程式をM ₀について解くことによって得られる次の式により、異なるモーメントマグニチュードの 2 つの地震間のエネルギー放出 (潜在的または放射的) の 比率を評価することができます。 ${\displaystyle E_{1}/E_{2}}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$

${\displaystyle E_{1}/E_{2}\approx 10^{{\frac {3}{2}}(m_{1}-m_{2})}.}$

リヒター スケールと同様に、モーメント マグニチュードの対数スケールで 1 段階増加すると、放出されるエネルギー量は10 ^{1.5 ≈ 32 倍増加し、2 段階増加すると、エネルギーは 10 3 = 1000 倍増加します。したがって、M} _w 7.0の地震には、M w   5.0 の地震の 1000 倍、M w 6.0 の地震の約 32 倍のエネルギーが含まれます。

マグニチュード値の重要性を納得させるために、地震中に放出される地震エネルギーは、従来の化学爆発物TNTの効果と比較されることがあります。地震エネルギーは、グーテンベルクとリヒターによる上記の式から次のように求められます。 ${\displaystyle E_{\mathrm {S} }}$

${\displaystyle E_{\mathrm {S} }=10^{\;\!1.5\cdot M_{\mathrm {S} }+4.8}}$

あるいは広島の原爆に転用された。

${\displaystyle E_{\mathrm {S} }={\frac {10^{\;\!1.5\cdot M_{\mathrm {S} }+4.8}}{5.25\cdot 10^{13}}}=10^{\;\!1.5\cdot M_{\mathrm {S} }-8.92}}$

地震エネルギー（ジュール）とそれに対応する爆発エネルギーを比較すると、TNT1トンあたり4.2 x 10 ⁹ジュールの値が適用される。表^[55]は地震エネルギーとモーメントマグニチュードの関係を示している。

スケールの終点は10.6の値であり、この値では地球の地殻が完全に崩壊しなければならないという仮定に対応しています。^[56]

モーメントマグニチュードを決定するための様々な方法が開発されており、Mwスケールのいくつかのサブタイプは、_使用  された基準を示すために使用することができます。^[57]

• Mwb –長周期（約 10 ～ 100 秒）実体波のモーメントテンソル逆解析
• Mwr –地域距離（約 1,000 マイル）での完全な波形のモーメント テンソル反転から
• Mwc –周期および長周期の実体波と表面波の重心モーメントテンソル逆変換
• Mww – W 相の重心モーメントテンソル反転から導出されます
• Mwp (Mi） – 津波の潜在的可能性をP波の測定から迅速に推定するために坪井誠司氏^[58]、後に遠地地震全般に拡張されました。^[59]
• Mwpd – 破壊の継続時間を考慮した継続時間-振幅手順。Mwで見られるものよりも長く続く（「遅い」）破壊によって放出されるエネルギーのより完全な画像を提供します_。 [^60]
• Mdt –遠地地震P波の最大変位と震源継続時間を組み合わせて地震の規模を迅速に推定します。^[61]

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• 地震一覧
• 地震のマグニチュードスケール

• USGS: 地震の測定
• 視点：地震エネルギー放出のグラフ比較 –太平洋津波警報センター