変調空間

この記事で説明する空間は、ある音楽システムにおけるピッチ クラス間の関係をモデル化するピッチ クラス空間です。これらのモデルは、多くの場合、グラフ、グループ、または格子です。ピッチ クラス空間に密接に関連しているのは、ピッチ クラスではなくピッチを表すピッチ空間と、コード間の関係をモデル化するコード空間です。

最も単純なピッチ空間モデルは実数直線である。例えば、MIDIチューニング標準では、基本周波数fは次式に従って 数値pにマッピングされる。

${\displaystyle p=69+12\log _{2}{(f/440)}}$

これにより、オクターブのサイズが 12、半音 (ピアノのキーボード上の隣接するキー間の距離) のサイズが 1、A440に番号 69 (つまり、中央の C に番号 60 が割り当てられる) が割り当てられる線形空間が作成されます。円形のピッチ クラス空間を作成するには、ピッチpとp + 12を識別または「接着」します。結果は、数学者がZ /12 Zと呼ぶ連続した円形のピッチ クラス空間です。

五度圏などのピッチクラス空間の他のモデルは、完全五度で関連付けられたピッチクラス間の特別な関係を説明しようとします。平均律では、連続する 12 の五度はちょうど 7 オクターブに相当し、したがってピッチクラスの観点からはそれ自体に閉じて円を形成します。五度のピッチクラスは12 のピッチクラスの空間を 生成する、または生成元であると言えます。

オクターブを n 等分し、m と n が互いに素である(つまり、公約数を持たない) ような整数 m<n を選択すると、有限巡回群の構造を持つ相似円が得られます。2 つのピッチクラスが生成元によって異なる場合に、それらの間に線を引くと、生成元の円を正多角形のサイクルグラフとして描くことができます。^{[例が必要]}

オクターブを n 個の部分に分割すると (n = rs は互いに素な 2 つの整数 r と s の積)、音空間のすべての要素を、特定の数の "r" 生成子と特定の数の "s" 生成子の積として表すことができます。言い換えると、順序 r と s の 2 つの巡回グループの直和として表すことができます。これで、2 つのピッチ クラスが "r" 生成子または "s" 生成子のいずれかによって異なる場合は常に、それらのピッチ クラスの間にエッジを追加することによって、グループが作用する n 個の頂点を持つグラフを定義できます (生成子rとs を持つのいわゆるケーリー グラフ)。結果は、種数1 のグラフ、つまりドーナツまたはトーラスの形状を持つグラフになります。このようなグラフは、トーラス グラフと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{12}}$

一例は平均律です。12 は 3 と 4 の積であり、任意のピッチ クラスをオクターブの 3 度、つまり長 3 度とオクターブの 4 度、つまり短 3 度の組み合わせとして表すことができます。次に、2 つのピッチ クラスが長 3 度または短 3 度異なる場合は常にエッジを描画してトロイダル グラフを描画します。

これを任意の数の互いに素な因数に一般化すれば、 n 次元トーラス上に規則的な方法でグラフを描くことができます。

線形音律は、オクターブと別の音程（一般に「生成器」と呼ばれる）によって生成されるランク 2 の規則的な音律です。最もよく知られている例は、平均音律です。その生成器は、平らな平均音 5 度です。線形音律のピッチ クラスは、生成器の無限の連鎖に沿って存在するものとして表すことができます。たとえば、平均音律では、これは -FCGDA- などになります。これにより、線形の変調空間が定義されます。

線形ではないランク 2 の音律には、1 オクターブの一部である 1 つのジェネレータがあり、これを周期と呼びます。このような音律の変調空間は、円筒を形成する円形の n 個のジェネレータ チェーンとして表すことができます。ここで、n はオクターブ内の周期の数です。

たとえば、ディアスキスミック音律は、ディアスキスマ、つまり 2048/2025 を和らげる音律です。これは、半オクターブ離れたわずかに (3.25 ～ 3.55 セント) 高い 5 度の 2 つのチェーンとして表すことができ、円に対して垂直な 2 つのチェーンと円の反対側の 2 つのチェーンとして描くことができます。この種の変調空間の円筒形の外観は、周期がオクターブのより小さな分数である場合により明らかになります。たとえば、エネラル・メリマル音律には、円内の 9 つの短 3 度のチェーンで構成される変調空間があります (3 度は 0.02 ～ 0.03 セント高い場合があります)。

5 極限 純正律は、ピッチクラスが 3 ^a 5 ^b（ a と b は整数）で表せるという事実に基づく変調空間を持ちます。したがって、これは 3 と 5 の 2 つの生成元を持つ自由アーベル群であり、水平軸に 5 度、垂直軸に長 3 度を持つ正方格子で表すことができます。

これを六角形の格子で表すと、いろいろな意味でよりわかりやすい図が浮かび上がります。これは、田中正平が同時期に独立に発見した、フーゴ・リーマンのトンネッツです。5度は水平軸に沿っており、長3度は60度の角度で右を向いています。さらに60度進むと、左を向いた長6度の軸になります。5極限調性ダイヤモンドの非ユニゾン要素、3/2、5/4、5/3、4/3、8/5、6/5は、1の周りに正六角形に配置されます。この格子の正三角形が三和音で、上向きの三角形が長三和音、下向きの三角形が短三和音です。

この 5 極限変調空間の図は、協和音を均一に扱い、たとえば長 3 度が長 6 度よりも協和音に近いことを示唆しないため、一般的に好ましいものです。2 つの格子点が可能な限り近く、単位距離だけ離れている場合にのみ、それらは協和音の間隔で分離されます。したがって、六角形の格子は、5 極限変調空間の構造をよりよく表しています。

より抽象的な数学的用語で言えば、この格子を整数のペア（a、b）として記述することができ、通常のユークリッド距離の代わりに、ベクトル空間ノルムで定義されたユークリッド距離を持つ。

${\displaystyle ||(a,b)||={\sqrt {a^{2}+ab+b^{2}}}.}$

同様に、 3 ^a 5 ^b 7 ^cを対応する立方格子で表すことで、 7 極限純正律の調律空間を定義できます。ただし、ここでも、六方格子の 3 次元類似体である A _{3と呼ばれる格子で表すと、よりわかりやすい図が浮かび上がります。この格子は}面心立方格子、つまり D ₃に相当します。抽象的には、 3 ^a 5 ^b 7 ^cに関連付けられた整数の 3 つ組 (a、b、c) として定義できます。ここで、距離の尺度は通常のユークリッド距離ではなく、ベクトル空間ノルムから導かれるユークリッド距離です。

${\displaystyle ||(a,b,c)||={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}}.}$

この図では、7 つの極限調性ダイヤモンドの 12 個の非ユニゾン要素が、立方八面体の形で 1 の周りに配置されています。

• ピッチスペース
• 弦空間

• Riemann、Hugo、Ideen zu einer Lehre von den Tonvorstellungen、Jahrbuch der Musikbibliothek Peters、(1914/15)、ライプツィヒ、1916 年、1 ～ 26 ページ。 [1]
• タナカ、ショーヘ、Studien im Gebiete der reinen Stimmung、Vierteljahrsschrift für Musikwissenschaft vol. 6 いいえ。 1、Friedrich Chrysander、Philipp Spitta、Guido Adler (編)、Breitkopf und Härtel、ライプツィヒ、1–90 ページ。 [2]

• コーン、リチャード、「新リーマン理論入門：概観と歴史的観点」、音楽理論ジャーナル、（1998）42（2）、pp. 167-80
• ラーダール、フレッド（2001年）。Tonal Pitch Space、pp.42-43。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-505834-8 。
• ルービン、スティーブン、1974年、「中期ベートーヴェンの発展の分析の技法」、博士論文、ニューヨーク大学、1974年

• 7つの限界の調節空間
• トネッツと一般化