無限降下法による証明

数学において、無限降下法による証明は、フェルマー降下法としても知られ、背理法による証明の一種である^{[1] 。}ある命題がどの数に対しても成り立たないことを示すために用いられる。ある命題が数に対して成り立つならば、同じ命題がより小さな数に対しても成り立ち、無限降下と最終的に矛盾につながることを示すことによって、その命題がどの数に対しても成り立たないことを示す。^[2]これは整列原理に基づく方法であり、ディオファントス方程式などの特定の方程式に解が存在しないことを示すためによく用いられる。^{[3] [4]}

典型的には、ある意味で 1 つ以上の自然数に関連する問題の解が存在する場合、必然的に 1 つ以上の「より小さい」自然数に関連する 2 番目の解が存在することが示されます。これは、今度はより小さい自然数に関連する 3 番目の解を意味し、4 番目の解を意味し、したがって 5 番目の解を意味し、以下同様に続きます。ただし、ますます小さい自然数は無限に存在することはできず、したがって数学的帰納法によれば、任意の解が存在するという元の前提は誤りであり、その正しさは矛盾を生み出します。

これを表現する別の方法は、1 つ以上のソリューションまたは例が存在すると仮定し、そこから最小のソリューションまたは例 (最小限の反例) を推論することです。そこに到達したら、最小のソリューションが存在する場合、それは (ある意味で) より小さなソリューションの存在を意味するはずであることを証明しようとします。これは、ソリューションの存在が矛盾につながることを再び証明します。

無限降下法の最も初期の使用例はユークリッドの『原論』に見られる。^[3]典型的な例は第7巻の命題31で、ユークリッドはあらゆる合成整数が何らかの素数で割り切れることを証明している（ユークリッドの用語では「測られた」）。^[2]

この方法はずっと後になってフェルマーによって発展させられ、フェルマーはこの用語を造語し、ディオファントス方程式によく使用しました。^{[4] [5]} 2つの典型的な例は、ディオファントス方程式が解けないことの証明と、2つの平方和に関するフェルマーの定理の証明です。フェルマーの定理は、奇数の素数pは、次の場合に2つの平方和として表すことができると述べています（モジュラー算術と無限降下による証明を参照）。このようにして、フェルマーは古典的に興味深いディオファントス方程式の多くの場合で解が存在しないことを示すことができました（例えば、等差数列における4つの完全平方の問題）。 ${\displaystyle r^{2}+s^{4}=t^{4}}$${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$

場合によっては、現代人の目から見ると、彼の「無限降下法」は、楕円曲線E上の有理点の倍加関数の逆関数の活用である。文脈は、 E上の仮想的な非自明な有理点である。 E上の点を倍加すると、それを記述するために必要な数の長さ (桁数) がほぼ 2 倍になるため、点を「半分にする」と項がより小さい有理数が得られる。項は正であるため、永久に減少することはない。

20世紀の数論では、無限降下法が再び取り上げられ、代数的数論とL関数の研究の主眼と結びつくところまで押し進められた。楕円曲線E上の有理点は有限生成アーベル群を形成するというモーデルの構造的結果は、フェルマー風のE /2 Eに基づく無限降下論的議論を使用した。

これをアーベル多様体 Aの場合に拡張するために、アンドレ・ヴェイユは、解の大きさを量化する方法をより明示的に、高さ関数によって示さなければならなかった。これは基礎的な概念となった。 A ( Q )/2 A ( Q ) が有限であることを示すには、これは確かにAの有理点の群A ( Q ) の有限生成のための必要条件であるが、これは後にガロアコホモロジーとして認識されるものの中で計算を行わなければならない。このようにして、理論において抽象的に定義されたコホモロジー群は、フェルマーの伝統における降下と同一視される。モルデル・ヴェイユの定理は、後に非常に広範な理論となるものの始まりであった。

2 の平方根( √ 2 ) が無理数(つまり、2 つの整数の分数として表すことができない) であることの証明は古代ギリシャ人によって発見され、無限降下法による証明の最も古い例であると考えられる。ピタゴラス学派は、正方形の対角線がその辺と通約不可能であること、または現代の言葉で言えば、2 の平方根が無理数であることを発見した。この発見の時期や状況について確かなことはほとんどわかっていないが、メタポントゥムのヒッパソスの名前はよく言及されている。しばらくの間、ピタゴラス学派は 2 の平方根が無理数であるという発見を公式の秘密として扱い、伝説によれば、ヒッパソスはそれを漏らしたために殺害された。^{[6] [7] [8]} 2 の平方根は、Conway & Guy (1996) などでは「ピタゴラス数」または「ピタゴラス定数」と呼ばれることがある。^[9]

古代ギリシャ人は代数学を持っていなかったため、無限降下法による幾何学的証明を編み出しました（ジョン・ホートン・コンウェイは、より分かりやすいかもしれない無限降下法による別の幾何学的証明を発表しました^[10]）。以下は同様の方法による代数的証明です。

√ 2が有理数だとすると、次のように書ける。

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}$

二つの自然数pとqに対して、これを二乗すると

${\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}},}$

${\displaystyle 2q^{2}=p^{2},}$

したがって 2 はp ²を割り切れる。 2 は素数なので、ユークリッドの補題によりpも割り切れる。 したがって、ある整数rに対してp = 2 rとなる。

しかし、

${\displaystyle 2q^{2}=(2r)^{2}=4r^{2},}$

${\displaystyle q^{2}=2r^{2},}$

これは 2 がq を割り切ることも示しています。つまり、ある整数sに対してq = 2 sとなります。

これにより

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {2r}{2s}}={\frac {r}{s}}}$。

したがって、√ 2 が有理数として表せるのであれば、常により小さな部分を持つ有理数として表すことができ、それ自体がさらに小さな部分で表すことができ、これを無限に続けることができる。しかし、これは自然数の集合では不可能である。√ 2は有理数にも無理数にもなり得る実数であるため、残された唯一の選択肢は√ 2 が無理数になることである。^[11]

(あるいは、√ 2 が有理数である場合、分数としての「最小」表現は存在できないことが証明されます。なぜなら、「最小」表現p / qを見つけようとすると、より小さい表現が存在することになるため、同様の矛盾が生じるからです。)

正の整数kについて、√ k は整数ではなく有理数であり、次のように表せると仮定します⁠メートル/ん⁠自然数mとnに対して、q を√ k未満の最大の整数（つまり、qは√ kの底）とします。すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {k}}&={\frac {m}{n}}\\[6pt]&={\frac {m\left({\sqrt {k}}-q\right)}{n\left({\sqrt {k}}-q\right)}}\\[6pt]&={\frac {m{\sqrt {k}}-mq}{n{\sqrt {k}}-nq}}\\[6pt]&={\frac {\left(n{\sqrt {k}}\right){\sqrt {k}}-mq}{n\left({\frac {m}{n}}\right)-nq}}\\[6pt]&={\frac {nk-mq}{m-nq}}\end{aligned}}}$

分子と分母にはそれぞれ式 ( √ k  −  q ) (正だが 1 未満) が掛けられ、独立に簡略化されます。したがって、結果として得られる積、たとえばm′とn′ は整数であり、それぞれmとnより小さくなります。したがって、 √ k を表現するためにどの自然数mとnが使用されても、同じ比率を持つより小さな自然数m′  <  mとn′  <  nが存在します。しかし、自然数の無限降下は不可能であるため、これは√ k を自然数の比として表現できるという当初の仮定を反証します。 ^[12]

が整数で解けないことは、フェルマーの最終定理の特殊なケースであるが、後者の歴史的証明は、無限降下法を用いて前者をより広く証明することによって進められた。以下のより最近の証明は、ピタゴラスの三角形のどの2辺も正方形または正方形の2倍になることはできないことをさらに広く証明することによって、これらの不可能性の両方を示している。なぜなら、そのような三角形の最小値は存在しないからである。^[13]${\displaystyle r^{2}+s^{4}=t^{4}}$${\displaystyle q^{4}+s^{4}=t^{4}}$

そのようなピタゴラス三角形が存在すると仮定します。次に、それを縮小して、同じ特性を持つ原始的な (つまり、1 以外の共通因数を持たない) ピタゴラス三角形を作成できます。原始ピタゴラス三角形の辺は と表すことができます。この場合、 aとb は互いに素で、a+b は奇数なので、 yとz は両方とも奇数です。yとzがそれぞれ奇数である という特性は、 yもz も2 倍の正方形にはならないことを意味します。さらに、x が正方形または 2 倍の正方形である場合、aとbはそれぞれ正方形または 2 倍の正方形です。2 辺がそれぞれ正方形または 2 倍の正方形であると仮定されるかどうかによって、3 つのケースがあります。 ${\displaystyle x=2ab,}$ ${\displaystyle y=a^{2}-b^{2},}$ ${\displaystyle z=a^{2}+b^{2}}$

• yとz : この場合、 yとz は両方とも正方形です。しかし、その場合、 の辺と の斜辺を) と正方形の斜辺 (を含む整数辺を持ち、斜辺は小さくなります (と比較)。${\displaystyle {\sqrt {yz}}}$${\displaystyle b^{2}}$${\displaystyle a^{2}}$${\displaystyle b^{2}}$${\displaystyle a^{2}}$${\displaystyle a^{2}}$${\displaystyle z=a^{2}+b^{2}}$
• zとx : zは正方形です。 辺が とで斜辺がも、2 つの辺 (と) がそれぞれ正方形または正方形の 2 倍で、斜辺が より小さくなります (と比較)。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle z}$
• yとx : yは正方形です。 辺が と で斜辺が2 つの辺 ( bとa ) がそれぞれ正方形または正方形の 2 倍で、斜辺は元の三角形 (と比較) よりも小さくなります。${\displaystyle b}$${\displaystyle {\sqrt {y}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle z=a^{2}+b^{2}}$

いずれの場合も、2 辺がそれぞれ正方形または正方形の 2 倍であるピタゴラス三角形 1 つから、さらに小さい三角形が生まれ、さらに小さい三角形が生まれ、というように続きます。このようなシーケンスは無限に続くことはできないため、このような三角形が存在するという当初の前提は間違っているに違いありません。

これは、方程式

${\displaystyle r^{2}+s^{4}=t^{4},}$

${\displaystyle r^{4}+s^{2}=t^{4},}$そして

${\displaystyle r^{4}+s^{4}=t^{2}}$

非自明な解は存在できません。非自明な解は 2 辺が正方形であるピタゴラス三角形を生成するからです。

フェルマーの定理のn = 4の場合の無限降下法による他の同様の証明については、グラントとペレラ^[14]およびバーバラ^{[15]の論文を参照してください。}

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• PlanetMathでの無限降下。
• PlanetMathにおけるフェルマーの最終定理の例。