マーサーの定理

数学、特に関数解析において、マーサーの定理は、正方形上の対称正定値関数を収束する積関数列の和として表現する定理である。この定理は、 ( Mercer 1909 )で発表され、ジェームズ・マーサー(1883–1932)の研究の最も注目すべき成果の 1 つです。これは、積分方程式の理論における重要な理論的ツールであり、例えばカルーネン・レーヴェの定理のように確率過程のヒルベルト空間理論で使用され、また、対称正定値カーネルを再生カーネルとして特徴付ける再生核ヒルベルト空間理論でも使用されます。 ^{[ 1 ]}

マーサーの定理を説明するために、まず重要な特殊なケースを考察します。より一般的な定式化については後述します。この文脈におけるカーネルとは、対称な連続関数のことです。

${\displaystyle K:[a,b]\times [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$

どこ${\displaystyle K(x,y)=K(y,x)}$すべての人々のために${\displaystyle x,y\in [a,b]}$。

Kが正定値カーネルであるのは、以下の条件を満たす場合のみである。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}K(x_{i},x_{j})c_{i}c_{j}\geq 0}$

[ a , b ] のすべての有限点列x ₁ ,  ..., x _nとすべての実数c ₁ , ..., c _nの選択について。定義における弱い不等式にもかかわらず、「正定値」という用語は文献でよく知られていることに注意してください。^{[ 2 ] [ 3 ]}    

定常正定値カーネルの基本的な特徴付け（${\displaystyle K(x,y)=K(x-y)}$) はボフナーの定理によって与えられます。連続関数は${\displaystyle K(x-y)}$正定値であるのは、有限非負測度のフーリエ変換として表現できる場合に限る。${\displaystyle \mu }$:

${\displaystyle K(x-y)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i(x-y)\omega }\,d\mu (\omega )}$

このスペクトル表現は、正定値性と調和解析との関連性を明らかにし、核が定常である場合、例えば、点のペアの位置の 2 変数関数ではなく、点間の距離の 1 変数関数として表現できる場合、不等式による抽象的な定義よりも、正定値性のより強力で直接的な特徴付けを提供する。

Kに関連付けられているのは、積分によって定義される関数上の線形演算子(より具体的には、区間がコンパクトな場合はヒルベルト・シュミット積分演算子)です。

${\displaystyle [T_{K}\varphi ](x)=\int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)\,ds.}$

私たちは想定します${\displaystyle \varphi }$は実数値の二乗可積分関数 の空間L ² [ a , b ] を移動できますが、多くの場合、関連する再生核ヒルベルト空間はL ² [ a , b ]よりも厳密に大きくなります。 T _Kは線形演算子であるため、 T _Kの固有値と固有関数が存在します。  

定理。Kを連続対称正定値カーネルとする。このとき、L ² [ a , b ]の正規直交基底 { e _i } _{iが存在し、これは}T _Kの固有関数から構成され、対応する固有値の列 { λ _i } _iは非負である。非ゼロ固有値に対応する固有関数は [ a , b ] 上で連続であり、Kは次の表現を持つ。  

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}$

収束は絶対的かつ一様である。

ここでは、マーサーの定理の証明の構造、特にそれがコンパクト作用素のスペクトル理論とどのように関連しているかをより詳しく説明します。

• 写像K ↦ T _Kは単射である 。
• T _KはL ² [ a , b ]上の非負対称コンパクト作用素であり、さらにK ( x , x ) ≥ 0 である。

コンパクト性を示すために、 T _KによるL ² [ a , b ]の単位球の像が同程度連続であることを示し、アスコリの定理を適用して、単位球の像が一様ノルムを持つ C([ a , b ])で相対的にコンパクトであり、さらにL ² [ a , b ]で相対的にコンパクトであることを示します。

次に、ヒルベルト空間上のコンパクト作用素のスペクトル定理をT _Kに適用して、 L ² [ a , b ]の 正規直交基底 { e _i } _iの存在を示します。

${\displaystyle \lambda _{i}e_{i}(t)=[T_{K}e_{i}](t)=\int _{a}^{b}K(t,s)e_{i}(s)\,ds.}$

λ _i ≠ 0の場合、固有ベクトル（固有関数）e _{iは [} a , b ]上で連続であることがわかります。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}|e_{i}(t)e_{i}(s)|\leq \sup _{x\in [a,b]}|K(x,x)|,}$

これは、シーケンスが

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}e_{i}(t)e_{i}(s)}$

は、カーネルKと同じ演算子を定義することが容易にわかるカーネルK ₀に絶対的かつ一様に収束する。したがって、K = K ₀となり、ここからマーサーの定理が導かれる。

最後に、固有値の非負性を示すために、次のように書くことができる。${\displaystyle \lambda \langle f,f\rangle =\langle f,T_{K}f\rangle }$そして右辺を、Kの正定値性により非負となるリーマン和によってよく近似される積分として表現すると、${\displaystyle \lambda \langle f,f\rangle \geq 0}$意味するところは${\displaystyle \lambda \geq 0}$。

以下は即時対応です。

定理。K が連続対称正定値カーネルであると仮定する。T K_は非負の固有値の列 { λ _i } _iを持つ。このとき、

${\displaystyle \int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.}$

これは、演算子T _Kがトレースクラス演算子であることを示しており、

${\displaystyle \operatorname {trace} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt.}$

マーサーの定理自体は、任意の対称正半定値行列がベクトルの集合のグラミアン行列であるという結果の一般化である。

最初の一般化では、区間 [ a , b ] を任意のコンパクトなハウスドルフ空間に置き換え、[ a , b ] 上のルベーグ測度を、 Xのボレル代数上の有限可算加法測度μに置き換えます。この μ はXを台とします。これは、 Xの任意の空でない開部分集合Uに対してμ ( U ) > 0 であることを意味します。  

最近の一般化では、これらの条件は次のように置き換えられます。集合Xは、ボレル（完備）測度μを備えた第一可算位相空間です。Xはμの台であり、Xのすべてのxに対して、 x を含み、有限測度を持つ開集合Uが存在します。すると、本質的に同じ結果が成り立ちます。

定理。KをX上の連続対称正定値カーネルとする。関数κがL ¹ _μ ( X )であり、すべてのx ∈ Xに対してκ (x)  := K(x,x)であるならば、 T _Kの固有関数からなるL ² _μ ( X )の正規直交集合 { e _i } _iが存在し、対応する固有値の列 { λ _i } _iは非負である。非ゼロの固有値に対応する固有関数はX上で連続であり、K は次の表現を持つ。

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}$

ここで、収束はXのコンパクト部分集合上で絶対的かつ一様である。

次の一般化では、測定可能なカーネルの表現について扱います。

( X , M , μ )をσ有限測度空間とする。X上のL ² (または二乗可積分) カーネルは関数である。

${\displaystyle K\in L_{\mu \otimes \mu }^{2}(X\times X).}$

L ²カーネルは、次の式によって有界演算子T _{Kを定義します。}

${\displaystyle \langle T_{K}\varphi ,\psi \rangle =\int _{X\times X}K(y,x)\varphi (y)\psi (x)\,d[\mu \otimes \mu ](y,x).}$

T _Kはコンパクト演算子です (実際にはヒルベルト・シュミット演算子でもあります)。核Kが対称であれば、スペクトル定理により、T _K は固有ベクトルの正規直交基底を持ちます。非ゼロ固有値に対応する固有ベクトルは、分離可能性に関係なく、{ e _i } _iの列に並べることができます。

定理。Kが( X , M , μ )上の対称正定値カーネルである場合、

${\displaystyle K(y,x)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\lambda _{i}e_{i}(y)e_{i}(x)}$

^ここで、L2ノルムにおける収束を 示す。なお、カーネルの連続性を仮定しない場合、展開は一様収束しなくなることに注意されたい。

実数値関数K ( x , y ) は、すべての二乗可積分関数g ( x )に対して次の条件が満たされる場合に、マーサーの条件を満たすと言われます。

${\displaystyle \iint g(x)K(x,y)g(y)\,dx\,dy\geq 0.}$

• カーネルトリック
• 表現定理
• 再生核ヒルベルト空間
• スペクトル理論

• Adriaan Zaanen、線形解析、North Holland Publishing Co.、1960 年、
• Ferreira, JC、Menegatto, VA、「滑らかな正定値核によって定義される積分作用素の固有値」、積分方程式と作用素論、64 (2009)、第1号、61–81頁。（距離空間におけるマーサーの定理の一般化を示す。この結果は、第一可算位相空間にも容易に適用できる。）
• Konrad Jörgens、線形積分演算子、ピットマン、ボストン、1982 年、
• リチャード・クーラントとデイヴィッド・ヒルベルト、『数理物理学の方法』第1巻、インターサイエンス、1953年
• ロバート・アッシュ著『情報理論』、ドーバー出版、1990年
• Mercer, J. (1909)、「正負の関数と積分方程式の理論との関連」、Philosophical Transactions of the Royal Society A、209 ( 441–458 ): 415–446、Bibcode : 1909RSPTA.209..415M、doi : 10.1098/rsta.1909.0016、
• 「マーサーの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• H. ケーニッヒ著『コンパクト作用素の固有値分布』、ビルクハウザー出版、1986年。（有限測度μに対するマーサーの定理の一般化を示している。）