2つの瞬間の意思決定モデル

意思決定理論、経済学、金融学において、2 モーメント意思決定モデルとは、意思決定者が事前にその実現値を知ることができないランダム変数に直面し、それらのランダム変数の 2 つのモーメントの知識に基づいて選択が行われる状況で、意思決定を行うプロセスを説明または規定するモデルです。2 つのモーメントは、ほとんどの場合、平均 (つまり、ゼロに関する最初のモーメントである期待値) と、平均に関する 2 番目のモーメントである分散(または分散の平方根である 標準偏差) です。

最もよく知られている 2 モーメント意思決定モデルは、現代ポートフォリオ理論のモデルであり、資本資産価格決定モデルの意思決定部分を生み出しました。これらは平均分散分析を採用し、ポートフォリオの最終価値の平均と分散に焦点を当てています。

関連するすべてのランダム変数が同じ位置スケール族に属していると仮定します。つまり、すべてのランダム変数の分布は、他のランダム変数の線形変換の分布と同じです。この場合、任意のフォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用関数について、平均分散決定フレームワークを使用することは、例1に示すように、期待効用最大化と一致します。 ^{[1] [2]}

例1: ^{[3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]} ランダムなリターン のリスク資産が 1 つと、既知のリターン のリスクのない資産が 1 つあり、投資家の初期資産が であるとします。選択変数 の金額 がリスク資産に投資され、 の金額が安全資産に投資される場合、 が条件付きで、投資家のランダムな最終資産は になります 。 の任意の選択に対して、はの位置スケール変換として分布します 。 ランダム変数を への分布が等しいと定義すると、 は への分布が等しくなります。ここで、μ は期待値、σ はランダム変数の標準偏差(その 2 番目のモーメントの平方根) を表します。したがって、期待効用 を の 2 つのモーメントで表すことができます 。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle r_{f}}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle w_{0}-q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle w=(w_{0}-q)r_{f}+qr}$${\displaystyle q}$${\displaystyle w}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\tfrac {w-\mu _{w}}{\sigma _{w}}},}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \mu _{w}+\sigma _{w}x}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle \operatorname {E} u(w)=\int _{-\infty }^{\infty }\!u(\mu _{w}+\sigma _{w}x)f(x)\,dx\equiv v(\mu _{w},\sigma _{w}),}$

ここで、はフォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用関数、はの密度関数、 は導出された平均標準偏差選択関数で、その形式は密度関数fに依存します。フォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用関数は増加型と仮定され、富が少ないものより多いものの方が好まれることを意味し、凹型と仮定されます。これは個人がリスク回避的であると仮定するのと同じです。 ${\displaystyle u(\cdot )}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v(\cdot ,\cdot )}$

μ _wに関するvの偏導関数は正で、σ w に関する v の偏導関数は_{負であることが示されています。したがって、期待される富が大きいほど常に好まれ、富の標準偏差で測定されるリスクが大きいほど常に嫌われます。平均標準偏差無差別曲線は、σ w}が水平にプロットされた_点( σ _w、  μ _w )の軌跡として定義され、軌跡上のすべての点で E u ( w ) が同じ値を持ちます。次に、 vの導関数は、すべての無差別曲線が上向きに傾斜していることを意味します。つまり、任意の無差別曲線に沿ってdμ _w  /  d σ _w ^{> 0 です。さらに、 [3]}から、このような無差別曲線はすべて凸型であること が示されています。つまり、任意の無差別曲線に沿ってd ² μ _w  /  d (σ _w ) ²  > 0 です。

例2：例1のポートフォリオ分析は一般化できます。リスク資産が1つではなくn個あり、それらのリターンが共楕円分布している場合、すべてのポートフォリオは平均と分散によって完全に特徴付けることができます。つまり、ポートフォリオリターンの平均と分散が同一の2つのポートフォリオは、ポートフォリオリターンの分布も同一であり、すべての可能なポートフォリオは、場所と規模が互いに関連するリターン分布を持ちます。^{[11] [12]} したがって、ポートフォリオ最適化は、2モーメント決定モデルを使用して実装できます。

例3：価格受容性が高くリスク回避的な企業が、製品価格の市場実現値pを観察する前に、生産量qの生産を約束しなければならないと仮定する。 ^[13]その意思決定問題は、期待利益効用を最大化するように qを 選択することである。

E u ( pq – c ( q ) – g )を最大化する。

ここで、 E は期待値演算子、uは企業の効用関数、cは変動コスト関数、g は固定コストです。 qのすべての可能な選択に基づく企業のランダム収益pqのすべての可能な分布は、場所と規模に関連しています。そのため、意思決定の問題は、収益の期待値と分散の観点から構成できます。

意思決定者が期待効用最大化者でない場合でも、予測不可能な結果に対するすべての代替分布が互いの位置スケール変換である場合、意思決定は依然としてランダム変数の平均と分散の観点から枠組み付けることができる。^[14]

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