平均絶対偏差

データ セットの平均絶対偏差 (AAD) は、中心点からの絶対偏差の平均です。これは、統計的分散または変動性の要約統計です。一般的な形式では、中心点は、平均値、中央値、最頻値、または他の中心傾向の尺度の結果、または特定のデータ セットに関連する参照値になります。AAD には、平均絶対偏差と中央値絶対偏差(どちらもMADと略記) が含まれます。

統計的分散のいくつかの尺度は、絶対偏差の観点から定義されます。「平均絶対偏差」という用語は、統計的分散の尺度を一意に識別するものではありません。絶対偏差の測定に使用できる尺度は複数あり、同様に使用できる中心傾向の尺度も複数あるためです。したがって、絶対偏差を一意に識別するには、偏差の尺度と中心傾向の尺度の両方を指定する必要があります。統計文献では、平均絶対偏差 (平均値付近) と中央値絶対偏差 (中央値付近) の両方が、その頭文字「MAD」で表記されているため、標準的な表記法はまだ採用されていません。これらの値は一般に互いにかなり異なるため、混乱を招く可能性があります。

集合X  = { x ₁ , x ₂ , …, x _n } の平均絶対偏差は$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m(X)|.}$$

中心傾向の尺度の選択は、平均偏差の値に顕著な影響を及ぼします。たとえば、データセット {2, 2, 3, 4, 14} の場合: ${\displaystyle m(X)}$

平均絶対偏差(MAD) は、「平均偏差」または「平均絶対偏差」とも呼ばれ、データの平均の周りのデータの絶対偏差の平均、つまり平均からの平均 (絶対) 距離です。「平均絶対偏差」は、この用法、または指定された中心点に関する一般的な形式 (上記を参照) のいずれかを指します。

MADは、より現実に近いことから、標準偏差の代わりに使用することが提案されている。 ^{[1] MADは}標準偏差よりも変動性のより単純な尺度であるため、学校教育に役立つ可能性がある。^{[2] [3]}

この方法の予測精度は、予測の平均二乗誤差である平均二乗誤差（MSE）法と非常に密接に関連しています。これらの方法は非常に密接に関連していますが、MADは計算が簡単（二乗する必要がない）^[4]で理解しやすいため、より一般的に使用されています。^[5]

正規分布の場合、平均絶対偏差の平均から標準偏差への比は です。したがって、 X が期待値 0 の正規分布するランダム変数である場合、Geary (1935) を参照してください。^{[6]言い換えると、正規分布の場合、平均絶対偏差は標準偏差の約 0.8 倍です。ただし、サンプル内測定では、与えられたガウス標本}n の平均平均偏差 / 標準偏差の比の値が次の境界で得られます。nが小さい場合はバイアスがあります。^[7]${\textstyle {\sqrt {2/\pi}}=0.79788456\ldots }$ $${\displaystyle w={\frac {E|X|}{\sqrt {E(X^{2})}}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}.}$$${\displaystyle w_{n}\in [0,1]}$

平均からの平均絶対偏差は標準偏差以下です。これを証明する 1 つの方法は、ジェンセンの不等式に依存します。

中央値は平均偏差が最小となる点です。MAD中央値は、中央値付近のランダム変数のスケールを直接測定します。 $${\displaystyle D_{\text{med}}=E|X-{\text{median}}|}$$

これはラプラス分布の尺度パラメータの最大尤度推定量です。 ${\displaystyle b}$

中央値は平均絶対距離を最小化するため、 となります。中央値からの平均絶対偏差は、平均からの平均絶対偏差以下です。実際、中央値からの平均絶対偏差は、他の任意の固定数からの平均絶対偏差以下です。 ${\displaystyle D_{\text{med}}\leq D_{\text{mean}}}$

一般的な分散関数を用いて、ハビブ（2011）は中央値に関するMADを 次のように定義した。指標関数は $${\displaystyle D_{\text{med}}=E|X-{\text{median}}|=2\operatorname {Cov} (X,I_{O})}$$$${\displaystyle \mathbf {I} _{O}:={\begin{cases}1&{\text{if }}x>{\text{median}},\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

この表現により、MAD中央相関係数を得ることができます。^{[引用が必要]}

原則的には、平均値またはその他の中心点を中央絶対偏差の中心点として採用することができますが、ほとんどの場合、代わりに中央値が採用されます。

中央絶対偏差（MAD とも呼ばれる）は、中央値からの絶対偏差の中央値です。これは分散の堅牢な推定値です。

たとえば、{2, 2, 3, 4, 14} の場合、3 が中央値なので、中央値からの絶対偏差は {1, 1, 0, 1, 11} ({0, 1, 1, 1, 11} と並べ替え) となり、中央値は 1 になります。この場合、外れ値 14 の値の影響を受けないため、中央値の絶対偏差は 1 になります。

対称分布の場合、絶対偏差の中央値は四分位範囲の半分に等しくなります。

任意の点の周りの最大絶対偏差は、その点からの標本の絶対偏差の最大値です。厳密には中心傾向の尺度ではありませんが、最大絶対偏差は、上記の平均絶対偏差の式を使用して求めることができます。ここで、 は標本の最大値です。 ${\displaystyle m(X)=\max(X)}$${\displaystyle \max(X)}$

絶対偏差から得られる統計的分散の尺度は、分散を最小化する中心傾向のさまざまな尺度を特徴付けます。中央値は、絶対偏差と最も関連のある中心傾向の尺度です。いくつかの位置パラメータは次のように比較できます。

• L ²ノルム統計: 平均は平均二乗誤差を最小化する
• L ¹ノルム統計: 中央値は平均絶対偏差を最小化する。
• L∞ノルム統計：^中間範囲は最大絶対偏差を最小化する
• トリムされたL ^∞ノルム統計: たとえば、分布全体の中央絶対偏差を最小化するミッドヒンジ(第 1 四分位数と第 3 四分位数の平均) は、上位 25% と下位 25% をトリムした後の分布の最大絶対偏差も最小化します。

標本の平均絶対偏差は、母集団の平均絶対偏差の偏りのある推定値です。絶対偏差が偏りのない推定値であるためには、すべての標本絶対偏差の期待値 (平均) が母集団の絶対偏差と等しくなければなりません。しかし、そうはなりません。母集団 1、2、3 の場合、中央値に関する母集団の絶対偏差と平均に関する母集団の絶対偏差はどちらも 2/3 です。母集団から抽出できるサイズ 3 の平均に関するすべての標本絶対偏差の平均は 44/81 ですが、中央値に関するすべての標本絶対偏差の平均は 4/9 です。したがって、絶対偏差は偏りのある推定値です。

しかし、この議論は平均不偏性の概念に基づいています。位置の測定にはそれぞれ独自の不偏性があります (偏りのある推定量に関する項目を参照)。ここで関連する不偏性の形式は、中央値の不偏性です。

• 偏差（統計）
  • 中央絶対偏差
  • 偏差の二乗
  • 最小絶対偏差
• エラー
  • 平均絶対誤差
  • 平均絶対パーセント誤差
  • 可能性のあるエラー
• 平均絶対差
• 平均修正値

• 平均絶対偏差の利点