マトリックスユニット

線型代数において、行列単位は、値が 1 である非ゼロの要素が 1 つだけある行列です。 ^{[1] [2]} i行j列 目に 1 がある行列単位はと表されます。たとえば、i = 1、j = 2 の 3 行 3 列の行列単位は です 。ベクトル単位は標準的な単位ベクトルです。 ${\displaystyle E_{ij}}$$${\displaystyle E_{12}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$

単一エントリ行列は、必ずしも値が 1 である必要はなく、任意の値の 0 以外のエントリが 1 つだけある行列に対して行列単位を一般化します。

m行n列の行列単位の集合は、m行n列の行列空間の基底となる。^[2]

同じ正方形の2つの行列単位の積は、クロネッカーのデルタ である関係式を満たす 。^[2]${\displaystyle n\times n}$$${\displaystyle E_{ij}E_{kl}=\delta _{jk}E_{il},}$$${\displaystyle \delta_{jk}}$

環R上のスカラー n行n列行列の群は、 R上のn行n列行列の集合におけるn行n列行列単位の部分集合の中心化子である。^[2]

行列単位の行列ノルム（同じ 2 つのベクトルノルムによって誘導される）は 1 に等しくなり ます。

他の行列と掛け合わせると、任意の位置の特定の行または列が分離される。例えば、任意の3行3列の行列Aの場合: ^[3]

${\displaystyle E_{23}A=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\0&0&0\end{matrix}}\right].}$

${\displaystyle AE_{23}=\left[{\begin{matrix}0&0&a_{12}\\0&0&a_{22}\\0&0&a_{32}\end{matrix}}\right].}$