レンジキーピングの数学的考察

海軍の砲術では、長距離砲が使用可能になると、砲弾が発射された後、敵船はある程度の距離を移動するようになりました。そのため、砲弾が着弾したときに敵船、つまり目標がどこにいるかを把握することが必要になりました。船がどこにいる可能性があるかを追跡するプロセスは、距離維持と呼ばれました。これは、目標までの距離、つまり距離が、砲を正確に狙う上で非常に重要な要素であったためです。時が経つにつれて、目標までの方向である方向 (ベアリングとも呼ばれる) も距離維持の一部になりましたが、この用語は伝統によって生き続けました。

レンジキーピングは、アナログコンピューティングを現実世界の数学的モデリング問題に適用した優れた例です。各国は主力艦に多額の資金を投入していたため、艦砲が確実に標的に弾を命中させるように、レンジキーピングハードウェアの開発に巨額の資金を投入する用意がありました。この記事では、数学的モデリング問題としてのレンジキーピングの概要を示します。この議論をより具体的にするために、フォード Mk 1 レンジキーパーをこの議論の焦点として使用します。フォード Mk 1 レンジキーパーは、第一次世界大戦中の 1916 年にUSS テキサスに初めて配備されました。これは、比較的よく文書化されたレンジキーパーであり、耐用年数が長いものです。^[1]機械式レンジキーパーの初期の形態ではありますが、すべての基本原理を示しています。^[2]他の国のレンジキーパーも、砲の角度を計算するために同様のアルゴリズムを使用していましたが、運用上の使用方法は大きく異なることが多かったです。^[3]

長距離砲撃に加えて、魚雷の発射にはレンジキーピングのような機能も必要である。^[4]第二次世界大戦中の米海軍にはTDCがあり、これは機械式レンジキーパーを組み込んだ唯一の第二次世界大戦時代の潜水艦魚雷射撃管制システムであった（他の海軍は手動の方法に依存していた）。また、水上艦発射魚雷用のレンジキーパー装置もあった。米海軍以外のレンジキーピングの見方については、大日本帝国海軍の魚雷射撃管制に関連するレンジキーピング数学について論じた詳細な参考文献がある。 ^[5]

以下の議論は第二次世界大戦のアメリカ海軍砲術マニュアルの記述を模倣したものである。^[6]

第二次世界大戦中の米国海軍の測量士は、砲を発射する船 (「自船」と呼ばれる) と標的 (「標的」と呼ばれる) の間の視線 (LOS) に基づく移動座標系を使用していました。図 1 に示すように、測量士は「y 軸」を LOS として定義し、「x 軸」を LOS に垂直な線として定義し、2 つの軸の原点は標的を中心とします。

座標系を選択する際の重要な点は、さまざまな速度の符号を理解することです。方位の変化率は時計回り方向に正です。距離の変化率は、目標距離が増加すると正になります。

第二次世界大戦中、目標を追跡するということは、目標までの距離と方位を継続的に知ることを意味していました。これらの目標パラメータは、砲指揮装置^[7]とレーダーシステムを操作する船員によって定期的にサンプリングされ、そのデータが距離管理官に送られました。距離管理官は、目標情報サンプルに基づいて、時間の関数として目標までの距離と方位の線形外挿を行いました。

艦上での目標観測に加え、測距儀兵は、自艦に係留された観測機や有人気球からも情報を得ることができた。これらの観測プラットフォームは、戦艦などの大型軍艦から発射・回収することができた。一般に、20,000ヤード未満の距離の目標には艦上計器による観測が好まれ、より長距離の目標には航空機による観測が好まれた。 ^[8]第二次世界大戦後、ヘリコプターが利用可能になり、観測機や気球の発射・回収という危険な作業を行う必要がなくなった（簡単な説明については アイオワ級戦艦を参照）。

第一次世界大戦中、目標追跡情報は紙に印刷されることが多かった。^[9]第二次世界大戦中、追跡情報は電子ディスプレイに表示されるようになった（一般的なディスプレイについては エセックス級航空母艦を参照）。

第二次世界大戦初期には、目標までの距離は光学距離計によって測定されていました。夜間作戦ではサーチライトやスターシェルが使用されましたが、一般的に光学距離計は昼間の作戦に限られていました。^[10]第二次世界大戦後期には、目標までの距離を測定するためにレーダーが使用されました。レーダーは光学距離計よりも正確であることが証明されており ^[11]（少なくとも作戦条件下では）^[12]、昼夜を問わず目標までの距離を測定するのに好まれました。^[13]

第二次世界大戦初期には、一定期間にわたって目標の距離と方位を測定し、チャートに手動でプロットしていました。 ^[14] 目標の速度と進路は、一定期間に目標が移動した距離を使用して計算できました。第二次世界大戦後期には、目標の速度はレーダーデータを使用して測定できました。レーダーは正確な方位速度、距離、および半径速度を提供し、それが目標の進路と速度に変換されました。

潜水艦などの場合には、ソナーデータを使用して目標速度を推定できます。たとえば、ソナーオペレーターはプロペラの回転速度を音響的に測定し、船のクラスがわかれば船の速度を計算できます (詳細については TDC を参照してください)。

ターゲットのコースは、取得するのが最も難しいターゲット データです。多くの場合、多くのシステムは、ターゲットのコースを測定する代わりに、船首の角度と呼ばれる関連量を測定します。船首の角度は、船のコースと視線によって形成される角度です (図 1 を参照)。

船首の角度は通常、観測者の観測経験に基づいて推定された。場合によっては、観測者は「回転台」に取り付けられた船の模型に対して練習することで推定能力を向上させた。^[15]大日本帝国海軍には、観測者が船首の角度を測定するのを助けるために使用された測的盤と呼ばれる独特の道具があった。 ^[16]観測者はまずこの装置を使用して目標の角度幅を測定する。目標の角度幅、目標までの距離、およびその船種の既知の長さがわかれば、図2に示す式を使用して目標の船首の角度を計算できる。

船首の角度を判定するには、人間の観測者が必要でした。観測者を混乱させるために、船はしばしばダズル迷彩を使用しました。これは、船首の目標の角度を判定しにくくするために、船に線を描くというものでした。ダズル迷彩は、ある種の光学距離計に対しては有効でしたが、この方法はレーダーに対しては役に立たず、第二次世界大戦中に好まれなくなりました。

砲弾が着弾した時点での目標船の位置を予測することは、自艦の砲を向けるべき位置であるため、極めて重要である。第二次世界大戦中、ほとんどの測距儀礼担当者は、目標の進路と速度の線形外挿を使用して位置予測を行っていた。船舶は操縦可能であるが、大型船舶は操縦が遅いため、線形外挿は多くの場合合理的なアプローチである。^[17]

第一次世界大戦中、測距儀はしばしば「時計」と呼ばれていた（例えば、ドレイアー射撃管制表の測距時計と方位時計を参照）。これらの装置は、固定値を使用して目標距離と角度の推定値を定期的に増加させたため、時計と呼ばれていた。このアプローチは、目標方位の変化が距離の関数であり、固定変化を使用すると目標方位の予測がすぐに不正確になるため、あまり役に立たなかった。^[18]

弾丸衝突時の目標距離は、図 3 に示す式 1 を使用して推定できます。

どこ

• ${\displaystyle R_{TP}\,}$弾丸が衝突した時点での目標までの距離です。
• ${\displaystyle R_{T}\,}$銃を発射した時点の目標までの距離です。
• ${\displaystyle t_{TOF'}\,}$は発射体の飛行時間とシステムの発射遅延時間を加えたものである^[19]、すなわち。${\displaystyle \left(t_{TOF}\right)\,}$
  ${\displaystyle \left(t_{Delay}\right)\,}$${\displaystyle t_{TOF'}=t_{TOF}+t_{遅延}\,}$

弾丸が着弾した時点での標的までの距離を正確に予測することは困難です。なぜなら、弾丸の飛行時間を知る必要があるからです。飛行時間は、標的の投影位置の関数です。この計算は試行錯誤で行うことができますが、第二次世界大戦中に使用できたアナログコンピュータハードウェアでは実用的な方法ではありませんでした。フォードレンジキーパーMk1の場合、飛行時間は、式2に示すように、距離に比例すると仮定して近似されました。^[20]

どこ

• ${\displaystyle k_{TOF}\,}$ 飛行時間 (TOF) と目標距離の間の比例定数です。

TOF が距離に比例するという仮定は大まかなものであり、より洗練された機能評価手段を使用することで改善できる可能性があります。

距離予測には、距離の変化率を知る必要があります。図 3 に示すように、距離の変化率は式 3 のように表すことができます。

どこ

• ${\displaystyle s_{Oy}\,}$はLOSに沿った自船の速度です 。${\displaystyle v_{Oy}=\lVert v_{O}\rVert \cdot \cos(\theta _{T})}$
• ${\displaystyle s_{Ty}\,}$はLOSに沿った目標船の速度です。${\displaystyle v_{Ty}=\lVert v_{T}\rVert \cdot \cos(\theta _{AOB})}$

式 4 は予測範囲の完全な式を示しています。

方位角の予測^[21]は距離予測と同様に行われる。^[1]式5は基本的な関係であり、その導出は図4に示されている。

どこ

• ${\displaystyle \theta _{T}\,}$砲撃時の標的に対する方位角です。
• ${\displaystyle \theta _{TP}\,}$発射体が衝突した時点のターゲットに対する方位角です。

ベアリングの変化率は、図 4 に示す式 6 を使用して計算できます。

どこ

• ${\displaystyle s_{Ox}\,}$はx軸に沿った自船の速度、つまり です。${\displaystyle s_{Ox}=\lVert v_{O}\rVert \cdot \sin(\theta _{T})\,}$
• ${\displaystyle s_{Tx}\,}$はx軸に沿った目標速度、つまり です。${\displaystyle s_{Tx}=\lVert v_{T}\rVert \cdot \sin(\theta _{AOB})\,}$

を代入すると、式7は予測される方位の最終的な式を示します。 ${\displaystyle t_{TOF}{\dot {=}}k_{TOF}\cdot R_{T}}$

視界外の目標に砲弾を発射するには、歴史的に射撃表に基づいた計算が必要であった。^[22] 砲弾の着弾点は多くの変数の関数である: ^[23]

• 気温
• 空気密度
• 風
• 範囲
• 地球の自転
• 発射体、信管、武器の特性
• 銃口速度
• 推進剤温度
• ドリフト
• 銃と測距儀およびレーダーシステム間の視差
• 標的と砲台の高度差

射撃表は、標準化された条件下での砲兵の射撃データと、実際の条件下での着弾点を決定するために必要な補正を提供する。^[24]カムを使用して射撃表を実装する方法はいくつかあった。図5を例に考えてみよう。この場合、標的の距離と標的の相対仰角の関数としての砲角度は、所定の軸方向距離と角度におけるカムの厚さによって表される。砲方向担当官は、ダイヤルを使用して標的の距離と相対仰角を入力する。すると、ピンの高さが必要な砲角度を表す。このピンの高さを使用して、推進剤の温度や発射体の種類など、他の補正を行うカムやギアを駆動することができる。

射撃場管理装置に使われるカムは、砲を正確に誘導するために非常に精密に機械加工する必要があった。これらのカムはデータテーブルで構成された仕様に合わせて機械加工されていたため、CNC工作機械の初期の応用となった。 ^[25]

目標と弾道の修正に加えて、レンジキーパーは船の波動運動も修正する必要がある。軍艦には回転軸が垂直のジャイロスコープが搭載されていた。このジャイロは船のデッキの垂直に対する傾きを定義する2つの角度を決定した。この2つの角度はレンジキーパーに送られ、レンジキーパーはこれらの角度に基づいて修正を適用した。^[26]

レンジキーパーの設計者は、レンジキーパーの計算における誤差の原因を最小限に抑えるために膨大な時間を費やしましたが、誤差や情報の不確実性があり、発射体が最初の射撃で目標を外す原因となっていました。^[25]レンジキーパーには、レンジキーパーの射撃ソリューションに手動修正を組み込むことができるダイヤルがありました。砲兵観測員が修正を要請すると、レンジキーパーのオペレーターはこれらのダイヤルを使用して手動で修正を組み込みました。^[1]

• 米海軍による日本海軍の魚雷技術に関する報告書: この報告書は、日本海軍がレンジキーピング機能に関して米海軍と同様のアプローチを採用していたことを示しています。
• イギリスの射撃管制: 長距離砲の方向指示に対するアプローチを説明したイギリスの砲術マニュアル。
• 焼成テーブル: 焼成テーブルに関する PowerPoint プレゼンテーション