マルコフ数

マルコフ数（またはマルコフ数）とは、マルコフ・ディオファントス方程式の解の一部となる正の整数x、y 、またはz のことである。 

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,}$

アンドレイ・マルコフによって研究された（1879年、1880年）。 

最初のいくつかのマルコフ数は

1、2、5、13、29、34、89、169、194、233、433、610、985、1325 、...（OEISのシーケンスA002559 ）​​​​​​​​​​​​​​​​

マルコフ三重項の座標として現れる

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325), ...

マルコフ数とマルコフ三つ組は無限に存在する。

古いマルコフ トリプル ( x、y、z ) から新しいマルコフ トリプルを取得するには、2 つの簡単な方法があります。まず、3 つの数値x、y、zを並べ替えることで、特にx ≤ y ≤ zとなるようにトリプルを正規化できます。次に、( x、y、z ) がマルコフ トリプルであれば、( x、y、3 xy − z ) もマルコフ トリプルです。この操作を 2 回適用すると、最初に使用したトリプルと同じものが返されます。正規化された各マルコフ トリプルを、この操作によって得られる 1、2、または 3 つの正規化されたトリプルに接続すると、図のように (1,1,1) から始まるグラフが得られます。このグラフは連結です。つまり、すべてのマルコフ トリプルは、これらの操作のシーケンスによって(1,1,1)に接続できます。 ^{[ 1 ]} 例えば、(1, 5, 13)から始めると、z をそれぞれ 1、5、13 に設定すると、マルコフ ツリーでその 3 つの隣接要素(5, 13, 194)、(1, 13, 34)、(1, 2, 5)が得られます。例えば、(1, 1, 2)から始めて、変換の各反復の前にyとzを交換すると、フィボナッチ数を持つマルコフ トリプルがリストされます。同じトリプルから始めて、各反復の前にxとzを交換すると、ペル数を持つトリプルが得られます。            

2の領域に隣接する領域上のすべてのマルコフ数は奇数インデックスのペル数（または2 n ² − 1が平方数となるようなnの数、OEIS：A001653）であり、1の領域に隣接する領域上のすべてのマルコフ数は奇数インデックスのフィボナッチ数（OEIS：A001519）である。したがって、次の形式のマルコフ三つ組は無限に存在する。    

${\displaystyle (1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,}$

ここでF _kはk番目のフィボナッチ数である。同様に、次の形式のマルコフ三つ組は無限に存在する。

${\displaystyle (2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,}$

ここで、P _kはk番目のペル数である。^{[ 2 ]}

最小の特異な3つ組(1, 1, 1)と(1, 1, 2)を除いて、すべてのマルコフ3つ組は3つの異なる整数から構成されます。^{[ 3 ]}

1913 年にフロベニウスが指摘した一意性予想[ ^{4 ]は}、与えられたマルコフ数cに対して、cを最大要素とする正規化された解がちょうど 1 つ存在するというものです。この予想の証明は主張されてきましたが、どれも正しいとは思えません。^{[ 5 ]}マーティン アイグナー^{[ 6 ]}は、一意性予想のいくつかの弱い変種を調べています。彼の固定分子予想は 2020 年にラビドーとシフラーによって証明され^{[ 7 ]} 、固定分母予想と固定和予想は 2023 年にリー、リー、ラビドー、シフラーによって証明されました。^{[ 8 ]}

マルコフ数の素因数はいずれも4を法として3と合同ではないため、奇数のマルコフ数は4の倍数より1大きいことになる。^{[ 9 ]}さらに、${\displaystyle m}$がマルコフ数である場合、の素因数のいずれも${\displaystyle 9m^{2}-4}$は 3 を法 4 と合同である。偶数のマルコフ数は 32 の倍数より 2 大きい。^{[ 10 ]}

ドン・ザギエは1982年の論文で、n番目のマルコフ数は漸近的に次のように与えられると推測した。

${\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n+o(1)}}}\quad {\text{ただし}}C=2.3523414972\ldots \,.}$

エラー${\displaystyle o(1)=(\log(3m_{n})/C)^{2}-n}$以下にグラフを示します。

さらに彼は、${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9}$は、元のディオファントス方程式の近似であり、以下と同等である。${\displaystyle f(x)+f(y)=f(z)}$と${\displaystyle f(t)=}$アルコッシュ${\displaystyle (3t/2).}$^{[ 11 ]} この予想は、1995 年にグレッグ・マクシェーンとイゴール・リヴィンによって双曲幾何学。 ^{[ 12 ]}

n番目のラグランジュ数は、n番目のマルコフ数から次の式で計算できます。

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.\,}$

マルコフ数は、（一意ではない）二乗のペアの合計である。

マルコフ（1879年、1880年）は、もし 

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

は実数係数と判別式を持つ不定二項二次形式です。${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$すると、 f の絶対値が最大でゼロでない値をとる整数x、yが存在する。 

$\displaystyle {\frac {\sqrt {D}}{3}}}$

fがマルコフ形式でない限り：^{[ 13 ]}定数×形式

${\displaystyle px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}}$

そのため

${\displaystyle {\begin{cases}0<a<p/2,\\aq\equiv \pm r{\pmod {p}},\\bp-a^{2}=1,\end{cases}}}$

ここで、( p , q , r )はマルコフトリプルである。  

tr を行列上のトレース関数とする。XとYがSL ₂に属する場合(${\displaystyle \mathbb {C} }$）、 それから

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)+\operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})+2=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

だからもし${\textstyle \operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})=-2}$それから

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

特に、XとYも整数エントリを持つ場合、tr( X )/3、tr( Y )/3、および tr( XY )/3 はマルコフ トリプルです。X ⋅ Y ⋅ Z = Iの場合、tr ( XtY  ) = tr( Z ) となり、 X 、Y 、ZがSL 2にある_場合は、より対称的になります(   ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) X ⋅ Y ⋅ Z  =  I であり、それらの 2 つの交換子のトレースが −2 である場合、それらのトレース / 3 はマルコフ トリプルである。^{[ 14 ]}

• マルコフスペクトル

• アイグナー、マルティン（2013年7月29日）。マルコフの定理と一意性予想100年：無理数から完全マッチングまでの数学的旅。ハイデルベルク、シャム：シュプリンガー。ISBN 978-3-319-00887-5. MR 3098784 . 
• Cassels, JWS (1957).ディオファントス近似入門. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol.  45. Cambridge University Press . Zbl 0077.04801 . 
• Cusick, Thomas; Flahive, Mary (1989).マルコフとラグランジュのスペクトル. 数学概論とモノグラフ. 第 30巻. プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会. ISBN 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023 . 
• ガイ、リチャード・K. (2004).数論における未解決問題. Springer-Verlag . pp. 263–265 . ISBN  0-387-20860-7. Zbl 1058.11001 . 
• マリシェフ、AV（2001）[1994]、「マルコフスペクトル問題」、数学百科事典、EMS Press
• マルコフ、A.「無限の四角形の形式」。数学アンナレン。ISSN 0025-5831。 

マルコフ、A. (1879)。「最初の回想録」。数学アンナレン。15 ( 3–4 ): 381–406 .土井: 10.1007/BF02086269。S2CID 179177894。 

マルコフ、A. (1880)。「第二の回想録」。数学アンナレン。17 (3): 379–399。土井: 10.1007/BF01446234。S2CID 121616054。