束定理

ユークリッド幾何学において、束定理はユークリッド平面上の 6 つの円と 8 つの点に関する定理です。一般入射幾何学では、これはメビウス平面が満たすかどうかわからない類似の特性です。カーンの定理によれば、これは「卵形」のメビウス平面でのみ満たされます。したがって、これは射影平面に対するデザルグの定理のメビウス平面に対する類似物です。

束定理。8 つの異なる点に対して、6つの四重項のうち5つが少なくとも4つのサイクルで同心円状（サイクルに含まれる）である場合、6番目の四重項も同心円状である。^[1] $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}$ $Q_{ij}:=\{A_{i},B_{i},A_{j},B_{j}\},\ i<j,$ $c_{ij}$

バンドル定理はミゲルの定理と混同しないでください。

実ユークリッド空間の卵形メビウス平面は、球、楕円体、楕円体の適切な半分に接着された半球、方程式の表面など、卵形の表面の平面部分の幾何学として考えることができます。卵形の表面が球の場合、球上の「円幾何学」である古典的な実メビウス平面の空間モデルが得られます。 $x^{4}+y^{4}+z^{4}=1$

卵形メビウス平面の本質的な特性は、卵形を介した空間モデルの存在である。3次元射影空間における卵形は、a) 0、1、または2点で直線と交差し、b) 任意の点におけるその接線が平面（接平面）を覆う点の集合である。射影3次元空間における卵形の幾何学はメビウス平面であり、卵形メビウス平面と呼ばれる。幾何学の点集合は卵形の点から成り、曲線（「サイクル」）は卵形の平面部分である。適切な立体投影は、任意の卵形メビウス平面に対して平面モデルが存在することを示す。^[2]古典的な場合、平面モデルは円と線の幾何学である（各線は無限遠点で完成される）。束定理には平面的解釈と空間的解釈がある。平面モデルには線が含まれる場合がある。束定理の証明は空間モデル内で実行されます。

定理。 束定理はあらゆる卵形メビウス平面で成り立ちます。

証明は、3 次元射影空間内の 3 つの平面が 1 つの点で交差するという事実を本質的に利用する以下の考察の結果です。

サイクルを含む平面は点で交差します。したがって、直線の交点は (空間内で!) です。 $c_{23},c_{34},c_{24}$ $P$ $P$ $A_{2}B_{2},\ A_{4}B_{4}$
閉路を含む平面は点で交差します。したがって、直線の交点もです。 $c_{12},c_{14},c_{24}$ $P'$ $P'$ $A_{2}B_{2},\ A_{4}B_{4}$

このことから、a)と b)も点で交差していることがわかります。最後の文は、が同心円であることを意味します。関係する平面には共通の点があり、平面の束の要素です。 $P=P'$ $A_{1}B_{1},\ A_{3}B_{3}$ $P$ $A_{1},B_{1},A_{3},B_{3}$ $P$

バンドル定理の重要性はジェフ・カーンによって示されました。

カーンの定理。 メビウス平面が卵形であるためには、束定理を満たす必要がある。^[3]

メビウス平面に対するバンドル定理は、射影平面に対するデザルグの定理に類似しています。バンドル定理から、a)歪体(分割環) と b) 卵形の存在が導かれます。より厳密なミゲルの定理が成り立つ場合、歪体は偶可換 (体) であり、卵形は二次曲面です。

卵形ではないメビウス平面も存在する。^[4]

卵形ラゲール平面には同様の意味を持つ束定理が存在する。^[5]

参考文献

^ ハートマン、61ページ。
^ ハートマン、63ページ。
^ カーン、62ページ。
^ ハートマン、64ページ。
^ ハートマン、78ページ。

出典

ハートマン、エーリッヒ。平面円幾何学、メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面入門。(PDF; 891 kB) ダルムシュタット工科大学数学部
カーン、ジェフ。バンドル定理を満たす反転平面。組み合わせ理論ジャーナル、シリーズ A、第 29 巻、第 1 号、pp. 1-19、1980 年 7 月。doi:10.1016/0097-3165(80)90043-6

さらに読む

W. ベンツ、フォルレスンゲンユーバー幾何学、シュプリンガー(1973)
P. デンボウスキー『有限幾何学』Springer-Verlag (1968) ISBN 3-540-61786-8、p. 256

[1] ハートマン、61ページ。

[2] ハートマン、63ページ。

[3] カーン、62ページ。

[4] ハートマン、64ページ。

[5] ハートマン、78ページ。