ルーカス番号

ルーカス数列は整数数列であり、その数列と密接に関連するフィボナッチ数列の両方を研究した数学者フランソワ・エドゥアール・アナトール・ルーカス(1842-1891)にちなんで名付けられました。ルーカス数列の個々の数はルーカス数として知られています。ルーカス数列とフィボナッチ数は、ルーカス数列の補完的なインスタンスを形成します。

ルーカス数列はフィボナッチ数列と同じ再帰関係を持ち、各項は前の2項の合計ですが、開始値が異なります。^[1]これにより、連続する項の比率が黄金比に近づく数列が生成され、実際には項自体は黄金比の整数乗の丸めです。 ^[2]また、この数列はフィボナッチ数列とさまざまな関係があり、フィボナッチ数列で2項離れた任意の2つのフィボナッチ数を加算すると、その間のルーカス数になります。^[3]

最初のいくつかのルーカス番号は

2、1、3、4、7、11、18、29、47、76、123、199、322、521、843、1364、2207、3571、5778、9349、... （OEISのシーケンスA000032）

これは例えば長さの巡回グラフの独立した頂点集合の数と一致する。^[1] ${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$

フィボナッチ数と同様に、各ルーカス数は、その直前の 2 つの項の合計として定義され、フィボナッチ整数列 を形成します。最初の 2 つのルーカス数はと であり、これは最初の 2 つのフィボナッチ数と とは異なります。定義は密接に関連していますが、ルーカス数とフィボナッチ数は異なる特性を示します。 ${\displaystyle L_{0}=2}$${\displaystyle L_{1}=1}$${\displaystyle F_{0}=0}$${\displaystyle F_{1}=1}$

したがって、ルーカス数は次のように定義されます。

${\displaystyle L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{if }}n>1.\end{cases}}}$

（ここでnは自然数に属する）

すべてのフィボナッチのような整数列は、ウィトフ配列の行としてシフトされた形式で表示されます。フィボナッチ数列自体は最初の行で、ルーカス数列は 2 番目の行です。また、すべてのフィボナッチのような整数列と同様に、2 つの連続するルーカス数間の比率は黄金比に収束します。

を使用すると、ルーカス数を負の整数に拡張して二重無限数列を得ることができます。 ${\displaystyle L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}}$

...、−11、7、−4、3、−1、2、1、3、4、7、11、...（の項が表示されます）。${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle -5\leq {}n\leq 5}$

この数列の負の添え字を持つ項の式は

${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}$

ルーカス数は、多くの等式によってフィボナッチ数と関連しています。その中には次のようなものがあります。

• ${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=2F_{n+1}-F_{n}}$
• ${\displaystyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}$
• ${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}$
• ${\displaystyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{nk}=L_{k}F_{n}}$
• ${\displaystyle 2F_{2n+k}=L_{n}F_{n+k}+L_{n+k}F_{n}}$
• ${\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$、 それで。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}}$
• ${\displaystyle \vert L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}\vert ={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0}$
• ${\displaystyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{nk}=5F_{n}F_{k}}$; 特に、、したがって。${\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}$${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$

それらの閉じた式は次のように与えられます。

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,}$

ここで、 は黄金比です。あるいは、項 の大きさが 1/2 未満の場合、は に最も近い整数であり、 の整数部（つまり、床関数）として表すこともできます。 これは とも表記されます。${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle (-\varphi )^{-n}}$${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle \varphi ^{n}}$${\displaystyle \varphi ^{n}+1/2}$${\displaystyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor }$

上記をビネの式と組み合わせると、

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}\,,}$

の式は次のようになります。 ${\displaystyle \varphi ^{n}}$

${\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}\,.}$

整数n ≥ 2の場合、次の式も得られます。

${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}=L_{n}-(-1)^{n}L_{n}^{-1}-L_{n}^{-3}+R}$

残りの Rは

${\displaystyle \vert R\vert <3L_{n}^{-5}}$。

フィボナッチ数列の多くはルーカス数列と類似している。例えばカシニ数列は

${\displaystyle L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=(-1)^{n}5}$

また

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}=L_{n+2}-1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}^{2}=L_{n}L_{n+1}+2}$

${\displaystyle 2L_{n-1}^{2}+L_{n}^{2}=L_{2n+1}+5F_{n-2}^{2}}$

どこ。 ${\displaystyle \textstyle F_{n}={\frac {L_{n-1}+L_{n+1}}{5}}}$

${\displaystyle L_{n}^{k}=\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {k}{2}}\rfloor }(-1)^{nj}{\binom {k}{j}}L'_{(k-2j)n}}$

ただし、を除く。 ${\displaystyle L'_{n}=L_{n}}$${\displaystyle L'_{0}=1}$

例えばnが奇数の場合、${\displaystyle L_{n}^{3}=L'_{3n}-3L'_{n}}$${\displaystyle L_{n}^{4}=L'_{4n}-4L'_{2n}+6L'_{0}}$

チェック、、および${\displaystyle L_{3}=4,4^{3}=64=76-3(4)}$${\displaystyle 256=322-4(18)+6}$

させて

${\displaystyle \Phi (x)=2+x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}}$

ルーカス数の 生成関数である。直接計算すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&=L_{0}+L_{1}x+\sum _{n=2}^{\infty }L_{n}x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=2}^{\infty }(L_{n-1}+L_{n-2})x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=1}^{\infty }L_{n}x^{n+1}+\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n+2}\\&=2+x+x(\Phi (x)-2)+x^{2}\Phi (x)\end{aligned}}}$

これは次のように並べ替えることができる。

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)}$は負の指数付きルーカス数の生成関数を与え、 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}L_{n}x^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{-n}x^{-n}}$

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {x+2x^{2}}{1-x-x^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi (x)}$関数方程式を満たす

${\displaystyle \Phi (x)-\Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)=2}$

フィボナッチ数列の生成関数は次のように与えられる 。

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

我々は持っています

${\displaystyle s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{1-x-x^{2}}}}$

それは次のことを 証明する

${\displaystyle F_{n}+L_{n}=2F_{n+1},}$

そして

${\displaystyle 5s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{x}}\Phi (-{\frac {1}{x}})=2{\frac {1}{1-x-x^{2}}}+4{\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

証明する

${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$

部分分数分解は次のように表される。

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}}$

ここでは黄金比、 はその共役比です。 ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$

これは生成関数を証明するために使用できる。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(\phi ^{n}+\psi ^{n})x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\phi ^{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{n}x^{n}={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}=\Phi (x)}$

がフィボナッチ数である場合、ルーカス数は で割り切れません。 ${\displaystyle F_{n}\geq 5}$${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle L_{n}}$が素数である場合、は1 を法として合同ですが、の合成値にもこの性質を持つものがあります。これらはフィボナッチ擬素数です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle L_{n}-L_{n-4}}$0 を 5 で割った値と合同です。

ルーカス素数とは素数であるルーカス数である。最初のいくつかのルーカス素数は

2、3、7、11、29、47、199、521、2207、3571、9349、3010349、54018521、370248451、6643838879、...（OEISの配列A005479）。

これらの素数のインデックスは（例えば、L ₄ = 7）

0、2、4、5、7、8、11、13、16、17、19、31、37、41、47、53、61、71、79、113、313、353、503、613、617、863、1097、1361、4787、4793、5851、7741、8467、...（OEISのシーケンスA001606 ）。

2015年9月現在^[update]、確認されている最大のルーカス素数はL ₁₄₈₀₉₁で、小数点以下桁数は30950桁です。^[4] 2022年8月現在^[update]、知られている最大のルーカス素数はL _5466311で、小数点以下桁数は1,142,392桁です。^[5]

L _nが素数の場合、 nは0 、素数、または2 の累乗です。^[6] L _{2 ^m}は、 m  = 1、2、3、4 の 場合に素数であり、 mの他の値は知られていません。

フィボナッチ多項式がフィボナッチ数から導出されるのと同じように、ルーカス多項式 はルーカス数から導出される 多項式列です。${\displaystyle L_{n}(x)}$

黄金比の累乗の有理近似値は、その連分数から得ることができます。

正の整数nの場合、連分数は次のように表されます。

${\displaystyle \varphi ^{2n-1}=[L_{2n-1};L_{2n-1},L_{2n-1},L_{2n-1},\ldots ]}$

${\displaystyle \varphi ^{2n}=[L_{2n}-1;1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,\ldots ]}$。

例えば：

${\displaystyle \varphi ^{5}=[11;11,11,11,\ldots ]}$

の限界は

${\displaystyle {\frac {11}{1}},{\frac {122}{11}},{\frac {1353}{122}},{\frac {15005}{1353}},\ldots }$

各項の誤差は前項の誤差の約1%である。

${\displaystyle \varphi ^{6}=[18-1;1,18-2,1,18-2,1,18-2,1,\ldots ]=[17;1,16,1,16,1,16,1,\ldots ]}$

の限界は

${\displaystyle {\frac {17}{1}},{\frac {18}{1}},{\frac {305}{17}},{\frac {323}{18}},{\frac {5473}{305}},{\frac {5796}{323}},{\frac {98209}{5473}},{\frac {104005}{5796}},\ldots }$

各項の誤差は、その前の項の約 0.3% になります。

2016年に657本のヒマワリを分析したところ、時計回りと反時計回りの螺旋を数えると、ルーカス数はフィボナッチ数に次いでヒマワリの中で2番目に多いパターンであることがわかった^。[7]

• フィボナッチ数の一般化

• 「ルーカス多項式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein, Eric W.「ルーカス数」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「ルーカス多項式」。マスワールド。
• 「ルーカス数」ロン・ノット博士
• ルーカス数と黄金比
• ルーカス数計算機はここにあります。
• OEISシーケンス A000032 (Lucas 番号は 2 から始まる)