リウヴィルの定理（複素解析）

リウヴィルの定理を用いた代数学の基本定理の簡単な証明がある。^{[ 4 ]}

この定理の帰結として、「真に異なる」全体関数は互いに支配し合うことができない、つまり、${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$全体であり、${\displaystyle |f|\leq |g|}$どこでも、それから${\displaystyle f=\alpha g}$ある複素数に対して${\displaystyle \alpha }$。次の点を考慮してください。${\displaystyle g=0}$この定理は自明なので、${\displaystyle g\neq 0}$関数を考えてみましょう${\displaystyle h=f/g}$証明すれば十分です。${\displaystyle h}$全体関数に拡張することができ、その場合、結果はリウヴィルの定理によって導かれる。${\displaystyle h}$点を除いて明確です${\displaystyle g^{-1}(0)}$しかし、${\displaystyle h}$は有界であり、すべての零点は${\displaystyle g}$孤立しているため、特異点は除去可能でなければならない。したがって${\displaystyle h}$これは、リウヴィルの定理により定数関数であることを意味する、有界関数全体に拡張することができる。

仮に${\displaystyle f}$全体であり${\displaystyle |f(z)|\leq M|z|}$、 のために${\displaystyle M>0}$コーシーの積分公式を適用できます。

${\displaystyle |f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}d\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M|\zeta |}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|d\zeta \right|={\frac {MI}{2\pi }}}$

どこ${\displaystyle I}$は残りの積分値です。これは、${\displaystyle f'}$は有界かつ整関数であるため、リウヴィルの定理により定数でなければならない。積分すると、${\displaystyle f}$アフィンであり、元の不等式に戻ると、定数項はゼロであることがわかります。

この定理は、非定数楕円関数の定義域を推論するためにも使用できる。${\displaystyle f}$できない${\displaystyle \mathbb {C} }$仮にそうだったとしましょう。すると、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$2 つの期間があります${\displaystyle f}$そのため${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$実在しない、平行四辺形を考える${\displaystyle P}$頂点が0 であるもの、${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle a+b}$。それから、${\displaystyle f}$に等しい${\displaystyle f(P)}$。 以来${\displaystyle f}$連続的で${\displaystyle P}$コンパクトで、${\displaystyle f(P)}$もコンパクトであり、したがって有界である。したがって、${\displaystyle f}$定数である。

非定数楕円関数の定義域が${\displaystyle f}$できない${\displaystyle \mathbb {C} }$これは、リウヴィルが1847年に楕円関数の理論を用いて実際に証明したものです。^{[ 5 ]}実際、リウヴィルの定理を証明したのはコーシーでした。^{[ 6 ] [ 7 ]}

もし${\displaystyle f}$が定数でない整関数である場合、その像は稠密である。${\displaystyle \mathbb {C} }$これはリウヴィルの定理よりもはるかに強力な結果のように見えるかもしれないが、実際には簡単な系である。${\displaystyle f}$が密でない場合、複素数が存在する。${\displaystyle w}$そして実数 ${\displaystyle r>0}$中心が開いた円盤${\displaystyle w}$半径付き${\displaystyle r}$画像の要素がありません${\displaystyle f}$。 定義する

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-w}}.}$

それから${\displaystyle g}$は有界整関数である。なぜなら、すべてのに対して${\displaystyle z}$、

${\displaystyle |g(z)|={\frac {1}{|f(z)-w|}}<{\frac {1}{r}}.}$

それで、${\displaystyle g}$は一定であり、したがって${\displaystyle f}$定数である。