渦格子法

渦格子法(VLM) は、数値流体力学で使用される数値手法で、主に航空機設計の初期段階や大学レベルの航空力学教育で使用されます。VLM は、航空機の翼などの揚力面を、離散渦の無限に薄いシートとしてモデル化し、揚力と誘導抗力を計算します。厚さと粘性の影響は無視されます。

VLM は、基本的な幾何学的定義を使用して、翼の周りの流れを計算できます。長方形の翼の場合、翼幅と翼弦長がわかれば十分です。一方、VLM は、かなり複雑な航空機の形状 (テーパー、キンク、ねじれ、キャンバー、後縁制御面、その他多くの幾何学的特徴を持つ複数の揚力面) の周りの流れを記述できます。

流れ場をシミュレートすることで、シミュレートされた物体の周りの圧力分布、または VLM の場合は力の分布を抽出できます。この知識は、概念設計段階で航空機の操縦性を評価するために重要な空力係数とその導関数を計算するために使用されます。翼の圧力分布の初期推定値を使用して、構造設計者は翼、垂直安定板、尾翼、およびその他の揚力面の荷重支持部品の設計を開始できます。さらに、VLM は粘性抵抗を計算できませんが、揚力の生成から生じる誘導抵抗を推定できます。したがって、巡航構成では抗力を推力とバランスさせる必要があるため、推進グループは VLM シミュレーションから重要なデータも取得できます。

ジョン・デヤングはNASAラングレーワークショップ文書SP-405でVLMの背景の歴史を説明しています。 ^[1]

VLMはプラントルの揚力線理論^[2]の拡張版であり、航空機の翼を無数の馬蹄渦としてモデル化します。この名前は、1946年の航空研究会議論文でVM Falknerによって名付けられました。 ^[3]この方法はその後、WP Jones、H. Schlichting、GN Wardらによってさらに開発、改良されてきました。

必要な計算は手作業で実行できますが、VLM は大量の計算を必要とする場合にコンピューターの登場の恩恵を受けました。

揚力線理論では翼ごとに 1 つの馬蹄形渦しか使用されないが、VLM では、1943 年に Falkner がこのテーマについての最初の論文で述べたように、馬蹄形渦の格子を使用する。^[4]使用される渦の数は、必要な圧力分布解像度と、計算される空力係数の必要な精度によって異なる。一般的な渦の数は、航空機の翼全体で約 100 である。1949年に Falkner が発表した航空研究会議の報告書では、「126 格子の標準化前には 84 渦格子が使用されていた」と述べられている (p. 4)。^[5]

^{この方法は、Katz & Plotkin [6]} 、 Anderson ^[7] 、 Bertin & Smith ^[8]、 Houghton & Carpenter ^[9]、Drela ^[10]などの主要な空気力学の教科書にわかりやすく記載されています。

渦格子法は、ポテンシャル流とも呼ばれる理想流の理論に基づいています。理想流は、自然界で経験される実際の流れを簡略化したものですが、多くの工学アプリケーションでは、この簡略化された表現には工学の観点から重要なすべての特性があります。この方法では、すべての粘性効果が無視されます。乱流、散逸、境界層はまったく解決されません。ただし、揚力による抗力は評価でき、特別な注意を払えば、一部の失速現象をモデル化できます。

渦格子法の問題に関しては、次の仮定が立てられています。

• 流れ場は非圧縮性、非粘性、非回転性です。ただし、一般的な 3D Prandtl-Glauert 変換をこの方法に組み込むと、小さな擾乱の亜音速圧縮性流れをモデル化できます。
• 揚力面は薄い。厚さが空気力に与える影響は無視される。
• 迎え角と横滑り角はともに小さいので、小角度近似となります。

上記の仮定により、流れ場は保存ベクトル場であり、これは摂動速度ポテンシャルが存在し、総速度ベクトルは次のように与えられること を意味する。${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \mathbf {V} }$

${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} _{\infty }+\nabla \varphi }$

そしてそれはラプラス方程式を満たします。 ${\displaystyle \varphi}$

ラプラス方程式は2次線形方程式であるため、重ね合わせの原理に従います。つまり、と が線形微分方程式の2つの解である場合、線形結合は定数およびの任意の値の解でもあります。アンダーソン^[7]は、「回転せず、圧縮されない流れの複雑な流れパターンは、回転せず、圧縮されないいくつかの基本流れを足し合わせることで合成できます」と述べています。このような基本流れは、点源またはシンク、ダブレット、および渦線であり、それぞれがラプラス方程式の解です。これらをさまざまな方法で重ね合わせると、線源、渦シートなどの形成を作成できます。渦格子法では、このような基本流れはそれぞれ、ある程度の強度 を持つ馬蹄形渦の速度場です。 ${\displaystyle \varphi_{1}}$${\displaystyle \varphi_{2}}$${\displaystyle c_{1}\varphi _{1}+c_{2}\varphi _{2}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle \ガンマ}$

航空機のすべての揚力面はいくつかの四辺形パネルに分割され、各パネルに馬蹄渦とコロケーション ポイント (または制御ポイント) が配置されます。渦の横方向セグメントはパネルの 1/4 弦の位置にあり、コロケーション ポイントは 3/4 弦の位置にあります。渦の強さが決定されます。法線ベクトルも各コロケーション ポイントに配置され、実際の揚力面のキャンバー面に対して垂直に設定されます。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

パネルの問題の場合、コロケーション ポイントでの摂動速度は、空力影響係数 (AIC) マトリックスの観点からすべての馬蹄渦の寄与を合計することによって与えられます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {w} _{ij}}$

${\displaystyle \nabla \varphi _{i}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {w} _{ij}\Gamma _{j}}$

自由流速度ベクトルは、自由流速度と迎え角および横滑り角によって表されます。 ${\displaystyle V_{\infty}}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$

${\displaystyle \mathbf {V} _{\infty }=V_{\infty }{\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta \\-\sin \beta \\\sin \alpha \cos \beta \end{bmatrix}}}$

各コロケーション点にはノイマン境界条件が適用され、キャンバー面全体の法線速度がゼロになることが規定されます。別の実装では、速度ポテンシャルに対してディリクレ境界条件を直接使用することもできます。

${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {n} _{i}=\left(\mathbf {V} _{\infty }+\sum _{j=1}^{N} \mathbf {w} _{ij}\Gamma _{j}\right)\cdot \mathbf {n} _{i}=0}$

これは流れの接線条件としても知られています。上記のドット積を評価すると、次の方程式系が得られます。新しい正規流AIC行列は、右辺は自由流の速度と2つの空力角度によって形成されます。${\displaystyle a_{ij}=\mathbf {w} _{ij}\cdot \mathbf {n} _{i}}$${\displaystyle b_{i}=V_{\infty}[-\cos \alpha \cos \beta ,\sin \beta ,-\sin \alpha \cos \beta ]\cdot \mathbf {n} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1N}\\a_{21}&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\a_{N1}&\cdots &\cdots &a_{NN}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Gamma _{1}\\\Gamma _{2}\\\vdots \\\Gamma _{N}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{N}\end{bmatrix}}}$

この連立方程式は、すべての渦の強さについて解かれます。次に、流体の密度を として、すべての個々の馬蹄形渦にかかるすべての力の寄与を合計することによって、原点の周りの全力ベクトルと全モーメント ベクトルが計算されます。 ${\displaystyle \Gamma_{i}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\rho \Gamma _{i}(\mathbf {V} _{\infty }+\mathbf {v} _{i})\times \mathbf {l} _{私}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}\times \mathbf {r} _{i}}$

ここで、は渦の横方向セグメント ベクトルであり、はこのセグメントの中心位置（共点ではない） での摂動速度です。${\displaystyle \mathbf {l} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

揚力と誘導抗力は、全力ベクトルの成分から得られる。横滑りがゼロの場合、これらは次のように表される。 ${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}D_{i}&=&\;\;F_{x}\cos \alpha +F_{z}\sin \alpha \\L&=&\!-F_{x}\sin \alpha +F_{z}\cos \alpha \end{array}}}$

飛行機の予備設計には、非定常空力モデルが必要です。これは通常、空力弾性解析のために周波数領域で記述されます。一般的に使用されるのは、翼システムをパネルに分割するダブレット ラティス法です。各パネルには、第 1 四半期ラインに加速ポテンシャルのダブレット ラインがあり、これは渦格子法で通常行われることと似ています。各パネルには、揚力が適用されると想定される荷重ポイントと、空力弾性境界条件が強制される制御ポイントがあります。周波数ゼロで評価されるダブレット ラティス法は、通常、渦格子定式化によって得られます。

• http://web.mit.edu/drela/Public/web/avl/
• https://github.com/OpenVOGEL

• NASA、渦格子の利用。NASA SP-405、NASA-ラングレー、ワシントン、1976年。
• Prandtl. L,現代流体力学の航空学への応用、NACA-TR-116、NASA、1923年。
• フォークナー、VM、「渦格子理論に基づく計算の精度」、Rep. No. 9621、British ARC、1946 年。
• J. Katz、A. Plotkin、「Low-Speed Aerodynamics」、第2版、Cambridge University Press、Cambridge、2001年。
• JD Anderson Jr,空気力学の基礎、第 2 版、McGraw-Hill Inc、1991 年。
• JJ Bertin、ML Smith、「エンジニアのための空気力学」、第 3 版、Prentice Hall、ニュージャージー、1998 年。
• EL Houghton、PW Carpenter、「工学学生のための空気力学」、第 4 版、Edward Arnold、ロンドン、1993 年。
• Lamar, JE、Herbert, HE、拡張 NASA-Langley 渦格子 FORTRAN コンピュータ プログラムの製品版。第 1 巻: ユーザー ガイド、NASA-TM-83303、NASA、1982
• Lamar, JE、Herbert, HE、拡張 NASA-Langley 渦格子 FORTRAN コンピュータ プログラムの製品版。第 2 巻: ソース コード、NASA-TM-83304、NASA、1982
• メリン、トーマス、「線形空力翼アプリケーションのための渦格子 MATLAB 実装」、スウェーデン王立工科大学 (KTH)、2000 年 12 月
• M. Drela、「Flight Vehicle Aerodynamics」、MIT Press、マサチューセッツ州ケンブリッジ、2014年。