交互シリーズテスト

数学的解析において、交代級数テストは、その項が (1) 絶対値が減少し、(2) 極限でゼロに近づくときに、交代級数が収束することを示すために使用される方法です。このテストはゴットフリート・ライプニッツによって使用され、ライプニッツテスト、ライプニッツの規則、またはライプニッツ基準と呼ばれることもあります。このテストは十分であるだけで必要ではないため、一部の収束交代級数はテストの最初の部分で失敗する場合があります。^{[1] [2] [3]}

一般化についてはディリクレ検定を参照のこと。^{[4] [5] [6]}

フォームのシリーズ

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots }$$

すべてのa _nが正であるか、すべてのa _nが負であるかのいずれかである場合、これを交代級数と呼びます。

交代級数テストは、次の2つの条件が満たされた場合に交代級数が収束することを保証する: ^{[1] [2] [3]}

1. ${\displaystyle |a_{n}|}$は単調に減少する^[a]、すなわち、、および${\displaystyle |a_{n+1}|\leq |a_{n}|}$
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$。

さらに、L を級数の和とすると、部分和は次の省略された項によって制限される誤差で L に近似します。${\textstyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!}$

$${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k+1}\right\vert =a_{k+1}.\!}$$

の形の数列が与えられていると仮定する。ここで、すべての自然数nに対してである。（負の数を取るとこのケースが導かれる。） ^[8]${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}\!}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$

奇数個の項を持つ部分和と偶数個の項を持つ部分和の両方が同じ数Lに収束することを証明します。したがって、通常の部分和もLに収束します。 ${\textstyle S_{2m+1}=\sum _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}}$${\textstyle S_{2m}=\sum _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}}$${\textstyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}(-1)^{n-1}a_{n}}$

奇数の部分和は単調に減少します。

$${\displaystyle S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1}}$$

一方、部分和は単調に増加します。

$${\displaystyle S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}}$$

どちらも、a _{n が}nとともに単調に減少するからです。

さらに、a _nは正なので、これらの事実をまとめると、次の示唆的な不等式が形成されます。 ${\displaystyle S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}\geq 0}$

$${\displaystyle a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.}$$

ここで、a ₁ − a _{2 は}単調減少シーケンスS _2m+1の下限値であることに注意してください。単調収束定理により、このシーケンスはm が無限大に近づくにつれて収束することが示されます。同様に、部分和シーケンスも収束します。

最終的に、 という理由により、それらは同じ数に収束する必要があります。 ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0}$

極限をLとすると、単調収束定理は次の追加情報も与えてくれる。

$${\displaystyle S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}}$$

任意のmに対して。これは、交代級数の部分和も最終極限より上と下で「交互に」存在することを意味します。より正確には、項の数が奇数（偶数）の場合、つまり最後の項がプラス（マイナス）項である場合、部分和は最終極限より上（下）になります。

この理解により、以下に示す部分和の誤差範囲が直ちに導き出されます。

2つのケースに分けて ご説明したいと思います。${\displaystyle \left|S_{k}-L\right|\leq a_{k+1}\!}$

k = 2 m +1、つまり奇数の とき、

$${\displaystyle \left|S_{2m+1}-L\right|=S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}.}$$

k = 2 m、つまり偶数の とき、

$${\displaystyle \left|S_{2m}-L\right|=L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}}$$

ご希望に応じて。

どちらの場合も、基本的には前の証明で導出された最後の不等式に依存します。

交代調和音列

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$$

交代級数テストの両方の条件を満たし、収束します。

結論が正しいためには、ゼロへの収束と単調性というテストのすべての条件が満たされていなければなりません。たとえば、次の級数を例にとります。

$${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots \ .}$$

符号は交互に変化し、項はゼロに近づきます。しかし、単調性は存在せず、テストを適用できません。実際、この級数は発散します。実際、部分和は調和級数の部分和の 2 倍であり、これは発散します。したがって、元の級数は発散します。 ${\textstyle S_{2n}}$${\textstyle S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}}$

ライプニッツ テストの単調性は必要条件ではないため、テスト自体は十分ではあるが、必要ではありません。(テストの 2 番目の部分は、すべての級数の収束の必要条件としてよく知られています。)

収束する非単調級数の例は次のとおりです。

$${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}\quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\cos ^{2}n}{n^{2}}}\ .}$$

実際、あらゆる単調級数に対して、アグニューの定理の条件を満たす順列でその項を並べ替えることで、同じ和に収束する非単調級数を無限に得ることが可能である。^[9]

• 交互シリーズ
• ディリクレ検定

• アポストル、トム・M. (1967) [1961].微積分. 第1巻 (第2版). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00005-1。
• コンラッド・ノップ(1956)無限列と級数、§ 3.4、ドーバー出版 ISBN 0-486-60153-6 
• コンラッド・ノップ(1990)無限級数の理論と応用、§ 15、ドーバー出版 ISBN 0-486-66165-2 
• ルディン、ウォルター(1976) [1953].数学的解析の原理(第3版). ニューヨーク: マグロウヒル. ISBN 0-07-054235-X. OCLC  1502474.
• スピヴァック、マイケル(2008) [1967].微積分学(第4版). ヒューストン、テキサス州: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1。
• ジェームズ・スチュワート、ダニエル・クレッグ、サリーム・ワトソン (2016) 『単変数微積分学：超越論入門（講師版）9E』、Cengage ISBN 978-0-357-02228-9
• ET Whittaker & GN Watson (1963) A Course in Modern Analysis、第4版、§2.3、ケンブリッジ大学出版局 ISBN 0-521-58807-3 

• ワイスタイン、エリック・W.「ライプニッツ基準」。マスワールド。
• ジェフ・クルーザン。 「交互シリーズ」