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音楽において、クルンペンハウワー ネットワークとは、「T および/または I 演算 (転置または反転) を使用して、pc (ピッチ クラスセット)間の相互関係を解釈するネットワーク」です。[1]ジョージ パールによると、「クルンペンハウワー ネットワークは、2 和音の和と差の観点から分析されたコードです」、そして「この種の 3 和音の組み合わせの分析は、彼の「最初から循環セットの概念に暗黙的に含まれていました」。 [2]循環セットとは、「交互の要素が単一の音程の補完的なサイクルを展開するセット」です。[3]これは、カナダの音楽理論家ヘンリー クルンペンハウワーにちなんで名付けられました。彼は、かつてデイヴィッド ルーインの博士課程の学生でした。
概要
「クルンペンハウワーのアイデアは、その意味合いが単純かつ深遠で、図 1 のようなネットワークに反転関係と転置関係を許容するというものである」[1] は、B から F ♯へ下向きの矢印T 7、 F ♯からA へ下向きの矢印 T 3、そして A から B へ上向きの矢印 T 10を示しており、これにより、たとえば図 2a のように I 5、 I 3、 T 2とラベル付けして表すことができます。[1]図 4 では、これは (b) I 7、 I 5、 T 2および (c) I 5、 I 3、 T 2です。
ルーウィンは「Kネットワーク解析の再帰的可能性」 [4]を主張している...「大まかに言えば、システムが操作Aによって変調されると、変換f ' = A f A -逆は、変調されたシステムにおいて、元のシステムでfが果たした構造的役割を果たす。」[5]
任意のピッチクラスのネットワークと任意の pc 操作 A が与えられた場合、最初のネットワークから 2 番目のネットワークを導出することができ、そこから導出される関係「ネットワーク同型性」は「同じセットクラスの pcset を解釈するために類似のノードと矢印の構成を使用するネットワーク間で発生します[6] - 「グラフの同型性」。2 つのグラフは、同じノードと矢印の構造を共有し、対応する矢印にラベルを付ける操作が T/I 間の特定の種類のマッピング f の下で対応する場合に同型です。」[7]
「同型グラフを生成するには、写像fはT/Iシステムの自己同型と呼ばれるものでなければならない。同型グラフを持つネットワークはアイソグラフィックと呼ばれる。」[7]
等長ネットワークであるためには、2 つのネットワークが次の特徴を備えている必要があります。
- ノードと矢印の構成は同じである必要があります。
- 1 つのネットワークの矢印にラベルを付けるために使用される変換システムを、他のネットワークの矢印にラベルを付けるために使用される変換システムにマッピングする同型F が存在する必要があります。
- 変換 X が 1 つのネットワークの矢印にラベルを付ける場合、変換 F(X) は他のネットワークの対応する矢印にラベルを付ける。」
「2つのネットワークが正等グラフ性を持つのは、ノードと矢印の構成が同じで、対応する矢印のT番号が等しく、対応する矢印のI番号がj mod 12の固定数だけ異なる場合です。」[7]「同一のグラフを含むネットワークを「強等グラフ性」と呼びます。」[8]「ピッチクラスの転置と反転のファミリーを「T/Iグループ」と呼びます。」[9]
「すべての矢印を反転し、それに応じて変換を調整することで、あらゆるネットワークを逆行させることができます。」 [7]
クルンペンハウワーの[真の]予想: 「同じ矢印構成を共有するノード(a)と(b)は、ネットワーク(b)の各T番号がネットワーク(a)の対応するT番号と同じであり、ネットワーク(b)の各I番号がネットワーク(a)の対応するI番号よりちょうどj大きい場合、常に等グラフになります。ここで、jは12を法とする定数です。」[6]
クルンペンハウワー ネットワークの等高線図に関する 5 つのルール:
- 同じノードと矢印の構成を共有する Klumpenhouwer ネットワーク (a) と (b) は、ネットワーク (b) の各 T 番号が対応するネットワーク (a) の T 番号と同じであり、ネットワーク (b) の各 I 番号が対応するネットワーク (a) の I 番号よりちょうど j 大きいという状況下では等グラフになります。T/I グループの適切な自己同型は F(1,j) です: F(1,j)(T n )=T n ; F(1,j)(I n ) = I n+J。
- Klumpenhouwer ネットワーク (a) と (b) は、ネットワーク (b) の各 T 番号がネットワーク (a) の対応する T 番号の補数であり、ネットワーク (b) の各 I 番号がネットワーク (a) の対応する I 番号の補数よりちょうど j 大きいという状況下では等グラフになります...F(11,j): F(11,j)(T n )=T −n ; F(11,j)(I n )=I −n+j。"
- クルンペンハウワーネットワーク(a)と(b)は、ネットワーク(b)の各T番号がネットワーク(a)の対応するT番号の5倍であり、ネットワーク(b)の各I番号がネットワーク(a)の対応するI番号の5倍よりj大きいという状況下では等グラフになります...F(5,j)：F(5,j)(T n )=T 5n；F(5,j)(I n )=I 5n+j。[7]
- Klumpenhouwer ネットワーク (a) と (b) は、ネットワーク (b) の各 T 番号がネットワーク (a) の対応する T 番号の 7 倍であり、ネットワーク (b) の各 I 番号がネットワーク (a) の対応する I 番号の 7 倍より j 大きいという状況では等グラフになります...F(7,j)：F(7,j)(T n )=T 7n ; F(7,j)(I n )=I 7n+j。
- 「クルンペンハウワーネットワーク（a）と（b）は、たとえ同じノードと矢印の構成を共有していたとしても、他の状況下では等グラフにはなりません。」[7]
「クルプメンハウワーの三項ネットワークのいずれも、循環集合のセグメントとして理解することができ、これらの解釈と「ネットワークのネットワーク」の解釈は、このように効率的かつ経済的に表現される。」[2]
適切なF(u,j)演算によってコードのグラフが同型となる場合、それらは独自のネットワークとしてグラフ化される可能性がある。[10]
その他の用語としては、ルーウィン変換ネットワーク[11]や強く同型な[12]などがある。
参照
参考文献
- ^ abc Lewin, David (1990). 「Klumpenhouwer ネットワークとそれに関連するいくつかのアイソグラフィー」。Music Theory Spectrum . 12 (1 (Spring)): 83–120. doi :10.2307/746147.
- ^ ab ペルル、ジョージ(1993)。「ジョージ・ペルルからの手紙」、ミュージック・セオリー・スペクトラム、第15巻第2号（秋）、pp.300-303。
- ^ パール、ジョージ( 1996)。十二音調性、p.21。ISBN 0-520-20142-6。
- ^ Lewin, David (1994). 「Klumpenhouwer ネットワークのチュートリアル、シェーンベルクの作品 11、第 2番のコラールを使用」。Journal of Music Theory。38 ( 1 (Spring)): 79–101。doi :10.2307/843828。
- ^ Lewin (1990)、p. 86。GMIT 、p. 149を引用。 [不完全な短い引用]
- ^ ab Lewin (1990)、87ページ。
- ^ abcdef Lewin (1990)、88ページ。
- ^ ルーウィン (1990, 84);クルンペンハウワー (1991, 329)。 Klumpenhouwer (1994)、p. で引用されています。 222.
- ^ ルーウィン（1990、86）。
- ^ ab Lewin (1990, 92)を参照。
- ^ Klumpenhouwer (1991)、320ページ。David Lewin (1988)、Generalized Musical Intervals and Transformations . (New Haven: Yale University Press)、154-244を引用。
- ^ クルペンハウワー (1991)、p. 322.
さらに読む
- ルーウィン、デイヴィッド（1987年）。一般化された音楽の音程と変換。ニューヘブンおよびロンドン：イェール大学出版局。pp.159-160。
- ドナルド・マルティーノ（1961）「ソースセットとその集合体の形成」、音楽理論ジャーナル5、第2号（秋）：224–273。
- アレン・フォルテ『無調音楽の構造』（ニューヘブン：イェール大学出版局、1973年）。
- ジョン・ラーン『基礎無調理論』（ニューヨークおよびロンドン：ロングマンズ、1980年）。
- クルンペンハウワー、ヘンリー (1991)。「マルティーノの即興曲第 6 番における行構造とハーモニーの様相」、p. 318n1、Perspectives of New Music、vol. 29、no. 2 (Summer)、pp. 318–354。
- ローダー、ジョン（1989）。「シェーンベルクの無調声部導出に関する観察のハーモニックな意味合い」、音楽理論ジャーナル33、第1号（春）：27-62。
- モリス、ロバート (1987)。Composition with Pitch Classes、p. 167。ニューヘイブンおよびロンドン: イェール大学出版局。ISBN 0-300-03684-1 。自己同型性について論じている。