ホルヘ・ルイス・ボルヘスと数学

ホルヘ・ルイス・ボルヘスと数学は、アルゼンチンの作家ホルヘ・ルイス・ボルヘス（1899年 - 1986年）の特定のエッセイや短編小説に見られるいくつかの現代数学の概念を扱っており、集合論、再帰、カオス理論、無限列などの概念が含まれる^[1]。 ただし、ボルヘスと数学との最も強いつながりは、ゲオルク・カントールの無限集合理論によるもので、これは「循環の教義」（La doctrina de los ciclos）で概説されている。ボルヘスの最も人気のある作品には、『バベルの図書館』（La Biblioteca de Babel）、『分かれ道の庭』（El Jardín de Senderos que se Bifurcan）、『アレフ』（カントルがヘブライ文字のアレフ（）を使用して超限集合の濃度を表すことを暗示） ^[2]、『アル・ムタシムへの接近』（El acercamiento a Almotásim）などがあり、彼の数学の使用を例示している。 ${\displaystyle \aleph}$

アルゼンチンの数学者ギジェルモ・マルティネスによれば、ボルヘスは少なくとも大学の代数と解析学の初級レベルの数学の知識を持っていたという。その範囲は論理学、パラドックス、無限、位相幾何学、確率論などである。彼はまた、当時の数学の基礎に関する議論にも精通していた。^[1]

1939年のエッセイ「亀の化身」（Avatares de la Tortuga）は無限について書かれたもので、彼はその冒頭で無限について書きたい本について次のように述べている。「5、7年の形而上学、神学、数学の訓練が、（おそらく）その本を適切に計画する準備となるだろう。」^[3]

ボルヘスの1941年の物語「バベルの図書館」では、語り手は、固定数の正書法記号とページからなる本のコレクションは無限であると宣言している。^[4]しかし、 25個の正書法記号の順列は有限であるため、図書館は周期的で自己反復的でなければならない。^[2]

1975年の短編小説『砂の本』（El Libro de Arena）では、彼は別の形の無限を扱っている。それは、要素が稠密な集合である無限であり、つまり、任意の2つの要素の間には、常に別の要素が存在する。この概念は、短編小説の元となった書籍『砂の本』でも使用されている。^{[1]語り手は、その本のページが「無限に薄い」と表現しているが、これは、}測度ゼロの集合を指しているとも、第二階述語論理の意味で無限小の長さを持っているとも解釈できる。^[5]

1936年のエッセイ「循環の教義」（La doctrina de los ciclos）^[6]は、同年のエッセイ集『永遠の歴史』に掲載され、ボルヘスは無限の時間と有限の質量を持つ宇宙について次のように推測している。「世界を構成するすべての原子の数は膨大だが有限であり、したがって有限（ただし膨大でもある）の順列しか可能ではない。無限の時間の中で、可能な順列の数だけ実行され、宇宙は繰り返される。あなたは再び腹から生まれ、再び骨格が成長し、再びこのページがあなたの同一の手に渡り、再び信じられないほどの死に至るまで、人生のすべての時間の経過をたどることになるだろう。」^[7]ボルヘスの多くのアイデアや構成と同様に、この考え方は形而上学的推測、言語、哲学的ゲームとして受け止められた。しかし、ほぼ1世紀後、理論物理学者たちは、今度は弦理論の結果として、同じ道に遭遇している。「宇宙が本当に膨張を加速しているのなら、宇宙は無限に大きくなり、物事が何度も何度も起こることが分かる。」そして、何かに無限に何度も挑戦すれば、どんなに起こりそうになくても、起こり得るすべての結果が無限に何度も起こることになる。」^[8]

ボルヘスは『バベルの図書館』の中で、「図書館は、その中心が任意の六角形であり、その円周が到達不可能な球体である」と述べている。図書館は3次元多様体として視覚化することができ、唯一の制約が局所ユークリッドであることであれば、トーラスやクラインの壺などの位相的に自明でない多様体として視覚化することもできる。^[5]

1951年のエッセイ「パスカルの球面」（La esfera de Pascal）^[9]で、ボルヘスは「中心はどこにでもあり、円周はどこにもない球面」について書いている。この概念の実現は、中心が含まれ、半径が徐々に大きくなり、最終的に空間全体を囲む球面の連続によって与えられる。これは、反転のプロセスによって「アレフ」の特別な点と比較することができる。^[1]

「分かれ道の庭」では、ボルヘスは架空の中国学者崔彭の小説について説明している。その小説の筋は時間の各時点で分岐している。時間の流れが分岐するという考え方は、量子力学の多世界解釈や、弦理論のいくつかのバージョンに存在する多元宇宙の概念と比較することができる。^[10]同様に、数学的宇宙論における無限に広がる無限の宇宙は、ボルヘスが直線的で絶対的な時間を拒絶していることを反映している。^[11]ボルヘスの著作は、エッセイ「新時間論駁」（1946年）で見られるように、実体の性質と無限の「現実」の可能性について論じている。^[12]

分岐理論は、無秩序なシステムから秩序が出現するというカオス理論のモデルであり、ローカルポイントでのシステムの挙動を説明するローカル理論です。ボルヘスは、1941年に「分岐路の庭」を通じて、数学における分岐理論の発展を予見しました。「庭」で、ボルヘスはシステムが複数の相関のない状態に分裂するというアイデアを捉えました。たとえば、川に浮かぶ葉が岩にぶつかると、その葉は岩のどちらかの側を流れていく必要があり、2つの可能性は統計的に相関がありません。^[13]