ジョーンズ微積分

光学では、偏光は1941年にRCジョーンズによって発明されたジョーンズ計算^{[ 1 ]}を用いて記述できます。偏光はジョーンズベクトルで表され、線形光学素子はジョーンズ行列で表されます。光が光学素子を通過すると、出射光の偏光は、光学素子のジョーンズ行列と入射光のジョーンズベクトルの積を取ることによって求められます。ジョーンズ計算は、すでに完全に偏光している光にのみ適用できることに注意してください。ランダムに偏光した光、部分的に偏光した光、または非干渉性の光は、ミュラー計算を用いて処理する必要があります。

ジョーンズベクトルは、自由空間または光が横波として適切に記述できる他の均質等方性非減衰媒質における光の偏光を表します。単色平面波の光が正のz方向に角周波数ω、波数k = (0,0, k )で伝搬しているとします。ここで、波数k = ω / cです。このとき、電場Eと磁場Hは各点でkに直交し、どちらも運動方向に対して「横断」平面上にあります。さらに、HはEを90度回転させ、媒質の波動インピーダンスに依存する固定乗数を加えることで決定されます。したがって、光の偏光はEを調べることで決定できます。Eの複素振幅は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}。$

物理的な電場Eは、このベクトルの実数部であることに注意してください。複素乗数は位相情報を提供します。${\displaystyle i}$は、​${\displaystyle i^{2}=-1}$。

ジョーンズベクトルは

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}.}$

したがって、ジョーンズベクトルは、 x方向とy方向における電場の振幅と位相を表す 。

ジョーンズベクトルの2つの成分の絶対値の二乗和は、光の強度に比例します。計算を簡略化するために、計算開始時点ではこれを1に正規化するのが一般的です。また、ジョーンズベクトルの最初の成分を実数に制限することも一般的です。これにより、他のビームとの干渉の計算に必要な全体の位相情報が失われます。

この記事で使用されているすべてのジョーンズベクトルと行列は、光波の位相が次のように与えられるという慣例に従っていることに注意してください。${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$ユージン・ヘクトが用いた慣例。^{[ 2 ]}この慣例の下では、$\displaystyle \phi _{x}}$（または$\displaystyle \phi _{y}}$) は位相の遅延（遅れ）を示し、減少は位相の進みを示します。たとえば、ジョーンズベクトルの成分は${\displaystyle i}$（${\displaystyle =e^{i\pi /2}}$）は遅延を示します${\displaystyle \pi /2}$（または90度）1（${\displaystyle =e^{0}}$)コレット^{[ 3 ]}は位相に対して反対の定義を使用している(${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$また、コレットとジョーンズは、円偏波の旋光性の定義に関して異なる慣習に従っています。ジョーンズの慣習は「受信機の視点から」と呼ばれ、コレットの慣習は「送信源の視点から」と呼ばれています。ジョーンズの計算に関する文献を参照する際には、この慣習の選択に注意する必要があります。

以下の表は、正規化されたジョーンズベクトルの一般的な例を6つ示しています。

表面上の任意の場所を指す一般的なベクトルはケットとして記述されます。${\displaystyle |\psi \rangle }$ポアンカレ球（ブロッホ球とも呼ばれる）を用いる場合、基底ケット（${\displaystyle |0\rangle }$そして${\displaystyle |1\rangle }$は、上記のケットの反対（対蹠）ペアに割り当てられなければなりません。たとえば、次のように割り当てることができます。${\displaystyle |0\rangle }$=${\displaystyle |H\rangle }$そして${\displaystyle |1\rangle }$=${\displaystyle |V\rangle }$これらの割り当ては任意です。対立するペアは

• ${\displaystyle |H\rangle }$そして${\displaystyle |V\rangle }$
• ${\displaystyle |D\rangle }$そして${\displaystyle |A\rangle }$
• ${\displaystyle |R\rangle }$そして${\displaystyle |L\rangle }$

等しくない任意の点の偏光${\displaystyle |R\rangle }$または${\displaystyle |L\rangle }$そして、通過する円上にはない${\displaystyle |H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle }$楕円偏光として知られています。

ジョーンズ計算は、1941 年にHenry Hurwitz Jr.とR. Clark Jonesによって開発され、 Journal of the Optical Society of Americaに掲載された行列計算です。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

ジョーンズ行列は、上述のジョーンズベクトルに作用する演算子です。これらの行列は、レンズ、ビームスプリッター、ミラーなどの様々な光学素子によって実現されます。各行列は、ジョーンズベクトルの1次元複素部分空間への射影を表します。以下の表は、偏光子のジョーンズ行列の例を示しています。

位相遅延器は、単色偏光ビームの2つの直交する偏光成分間に位相差を生じさせる光学素子である。^{[ 9 ]} 数学的には、ジョーンズベクトルをケットベクトルで表すと、位相遅延器の作用は偏光を持つ光を変換することである。

${\displaystyle |P\rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle }$

に

${\displaystyle |P'\rangle =c_{1}{\rm {e}}^{i\eta /2}|1\rangle +c_{2}{\rm {e}}^{-i\eta /2}|2\rangle }$

どこ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$直交偏光成分である（${\displaystyle \langle 1|2\rangle =0}$）位相遅延器の物理的性質によって決定される。一般に、直交成分は任意の2つの基底ベクトルになり得る。例えば、円形位相遅延器の動作は次のようになる。

${\displaystyle |1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}\qquad {\text{ and }}\qquad |2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}$

しかし、線形位相遅延器では、${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$線形偏光は、議論や実務においてより一般的に見られるものです。実際、「位相遅延器」という用語は、線形位相遅延器を特に指すために使用されることもあります。

線形位相遅延器は通常、方解石、MgF ₂、石英などの複屈折性単軸結晶から作られます。この目的のためにこれらの材料で作られた板は波長板と呼ばれます。単軸結晶は、他の 2 つの結晶軸とは異なる 1 つの結晶軸を持ちます (つまり、n _i ≠ n _j = n _k )。この固有の軸は異常軸と呼ばれ、光軸とも呼ばれます。光軸は、使用する結晶に応じて、結晶の高速軸または低速軸になります。光は、屈折率が最小の軸に沿ってより高い位相速度で進み、この軸は高速軸と呼ばれます。同様に、屈折率が最大である軸は、この軸に沿った光の位相速度が最も低いため、低速軸と呼ばれます。「負の」一軸結晶（例えば、方解石CaCO ₃、サファイアAl ₂₂ O ₃）ではn _e < n _oであるため、これらの結晶では異常軸（光軸）が高速軸となります。一方、「正の」一軸結晶（例えば、石英SiO ₂、フッ化マグネシウムMgF ₂、ルチルTiO ₂）ではn _e > n _oであるため、異常軸（光軸）が低速軸となります。市販されている他の線形位相遅延器も存在し、より特殊な用途で使用されています。フレネル菱形はそのような代替手段の 1 つです。

高速軸がx軸またはy軸として定義されている任意の線形位相遅延器は、非対角項がゼロであるため、次のように簡単に表現できます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{i\phi _{x}}&0\\0&{\rm {e}}^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}}$

どこ${\displaystyle \phi _{x}}$そして${\displaystyle \phi _{y}}$電場の位相オフセットは${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$それぞれ方向。位相規約では${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$2つの波間の相対位相を次のように定義する。${\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}}$すると、ポジティブな${\displaystyle \epsilon }$（つまり）${\displaystyle \phi _{y}}$>${\displaystyle \phi _{x}}$) は、${\displaystyle E_{y}}$同じ価値には達しない${\displaystyle E_{x}}$後まで、つまり${\displaystyle E_{x}}$リード${\displaystyle E_{y}}$同様に、${\displaystyle \epsilon <0}$、 それから${\displaystyle E_{y}}$リード${\displaystyle E_{x}}$。

例えば、1/4波長板の高速軸が水平である場合、水平方向の位相速度は垂直方向の位相速度よりも進みます。${\displaystyle E_{x}}$リード${\displaystyle E_{y}}$。 したがって、${\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y}}$1/4波長板の場合、${\displaystyle \phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2}$。

反対の慣習では${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$相対位相を次のように定義する${\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}}$。 それから ${\displaystyle \epsilon >0}$つまり${\displaystyle E_{y}}$同じ価値には達しない${\displaystyle E_{x}}$後まで、つまり${\displaystyle E_{x}}$リード${\displaystyle E_{y}}$。

任意の複屈折性物質のジョーンズ行列は、ジョーンズ計算における偏光変換の最も一般的な形式であり、あらゆる偏光変換を表すことができる。これを確認するには、以下を示せばよい。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos(\eta /2)-i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )&-\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )\\\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )&\cos(\eta /2)+i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

上記の行列は、 SU(2)の要素の一般的なパラメータ化であり、以下の慣例に従っています。

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~}$

ここで、上線は複素共役を表します。

最後に、ユニタリ変換の集合が${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$次のように表現できます

${\displaystyle \left\{{\rm {e}}^{i\gamma }{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,\ \ \gamma \in [0,2\pi ]\right\}}$

任意の複屈折材料のジョーンズ行列は、位相因子を除いて、任意のユニタリー変換を表すことが明らかになる。${\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}$したがって、適切な選択のために${\displaystyle \eta }$、${\displaystyle \theta }$、 そして${\displaystyle \phi }$位相因子を除いて、任意の2つのジョーンズベクトル間の変換を見つけることができる。${\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}$しかし、ジョーンズ計算では、このような位相因子はジョーンズベクトルの表現される偏光を変化させないため、任意とみなされるか、または設定された慣例に準拠するためにアドホックに課せられる。

位相遅延器の特殊な式は、複屈折材料の一般式に適切なパラメータ値を用いることで得られる。^{[ 12 ]}一般式では、

• 高速軸と低速軸の間に生じる相対位相遅延は次式で与えられる。${\displaystyle \eta =\phi _{y}-\phi _{x}}$
• ${\displaystyle \theta }$これは、x軸に対する高速軸の向きです。
• ${\displaystyle \phi }$それは循環性である。

線形リターダの場合、${\displaystyle \phi }$= 0、円形リターダーの場合、${\displaystyle \phi }$= ±${\displaystyle \pi }$/2、${\displaystyle \theta }$=${\displaystyle \pi }$/4. 一般的に楕円形リターダーの場合、${\displaystyle \phi }$値の範囲は-${\displaystyle \pi }$/2 と${\displaystyle \pi }$/2.

光学素子の光軸が入射面の 表面ベクトルに垂直であり、この表面ベクトルを中心に角度θ/2だけ回転していると仮定します（つまり、光軸が通過する主平面は、入射TE波の電場の偏光面に対して角度θ/2をなします）。半波長板は、入射偏光と光軸（主平面）との間の角度の2倍だけ偏光を回転させることを思い出してください。したがって、回転偏光状態M( θ )のジョーンズ行列は次のようになります。

${\displaystyle M(\theta )=R(-\theta )\,M\,R(\theta ),}$

どこ${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}$

これは、上の表の半波長板の式と一致します。これらの回転は、光学物理学におけるビームユニタリ分割変換と同一であり、次式で与えられます。

${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}r&t'\\t&r'\end{pmatrix}}}$

ここで、プライム付き係数とプライムなし係数は、ビームスプリッターの反対側から入射するビームを表します。反射成分と透過成分は、それぞれ位相θrとθt_を獲得します。要素の有効な表現の要件は^{[ 13 ]}_です。

${\displaystyle \theta _{\text{t}}-\theta _{\text{r}}+\theta _{\text{t'}}-\theta _{\text{r'}}=\pm \pi }$

そして ${\displaystyle r^{*}t'+t^{*}r'=0.}$

これらの表現はどちらも、これらの要件を満たすユニタリ行列であり、したがってどちらも有効である。

任意の回転に対するジョーンズ行列 J( α , β , γ ) を求めるには、3 次元回転行列が必要です。以下の表記では、 α、β、γはそれぞれヨー角、ピッチ角、ロール角（z 軸、y 軸、x 軸を中心とした回転で、x は伝播方向）を表します。3 次元回転行列の完全な組み合わせは次のとおりです。

${\displaystyle R_{3D}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\\sin \alpha \cos \beta &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma \\-\sin \beta &\cos \beta \sin \gamma &\cos \beta \cos \gamma \\\end{bmatrix}}}$

上記を用いると、任意の基本ジョーンズ行列 J に対して、回転状態 J( α , β , γ ) を次のように求めることができます。

${\displaystyle J(\alpha ,\beta ,\gamma )=R_{3D}(-\alpha ,-\beta ,-\gamma )\cdot J\cdot R_{3D}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$^{[ 1 ]}

最も単純なケース、つまりジョーンズ行列が理想的な直線水平偏光子のものである場合、それは次のように簡略化されます。

${\displaystyle J(\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{bmatrix}c_{\alpha }^{2}c_{\beta }^{2}&c_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-s_{\alpha }c_{\gamma }]&c_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\gamma }]\\s_{\alpha }c_{\alpha }c_{\beta }^{2}&s_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-s_{\alpha }c_{\gamma }]&s_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\gamma }]\\-c_{\alpha }s_{\beta }c_{\beta }&-s_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-s_{\alpha }c_{\gamma }]&-s_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\gamma }]\\\end{bmatrix}}}$

ここで、c _iと s _{i は}それぞれ、与えられた角度「i」のコサインまたはサインを表します。

これに基づいて行われたさらなる研究については、Russell A. Chipman と Garam Yun を参照してください。^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

• 分極
• 散乱パラメータ
• ストークスパラメータ
• ミュラー計算
• 光子の偏光

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