ミュラー計算

ミュラー計算は、光の偏光を表すストークス ベクトルを操作する行列法です。1943 年にハンス ミュラーによって開発されました。この手法では、特定の光学要素の効果は、ミューラー行列 (ジョーンズ行列を重ね合わせて一般化した 4×4 行列) によって表されます。

コヒーレント 波の重ね合わせを無視すると、完全に偏光した光、部分的に偏光した光、または非偏光した光の状態は、ストークスベクトル （）${\displaystyle {\vec {S}}}$で表すことができ、任意の光学要素はミュラー行列（M）で表すことができます。

光線が最初は状態にあり、その後光学素子Mを通過して状態 で出てくる場合、それは次のように書かれます。 ${\displaystyle {\vec {S}}_{i}}$${\displaystyle {\vec {S}}_{o}}$

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} {\vec {S}}_{i}\ .}$

光線が光学素子M _1、 M _2、 M ₃の順で通過する場合、次のように表記されます。

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}\left(\mathrm {M} _{2}\left(\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\right)\right)}$

行列の掛け算は結合法則に従うので、次のように書くことができる。

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_ {私}\ 。}$

行列の掛け算は可換ではないので、一般的に

${\displaystyle \mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\neq \mathrm {M} _{ 1}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}{\vec {S}}_{i}\ .}$

コヒーレンスを無視すると、非偏光または部分的に偏光した光はミュラー計算を使用して処理する必要がありますが、完全に偏光した光はミュラー計算またはより単純なジョーンズ計算のいずれかで処理できます。ただし、コヒーレント光（レーザーからの光など）を含む多くの問題は、ジョーンズ計算で処理する必要があります。これは、ジョーンズ計算が光の強度やパワーではなく光の電場を直接処理し、波の位相に関する情報を保持するためです。より具体的には、ミュラー行列とジョーンズ行列について次のことが言えます。^[1]

ストークス ベクトルとミュラー行列は、強度とその差、つまり光の非干渉性の重ね合わせに作用します。干渉効果や回折効果を説明するには不十分です。

（...）

任意のジョーンズ行列[J]は、次の関係式を用いて対応するミュラー・ジョーンズ行列Mに変換できる。^[2]

${\displaystyle \mathrm {M=A(J\otimes J^{*})A^{-1}} }$、

ここで、*は複素共役[ sic ]を示し、[ Aは:]

${\displaystyle \mathrm {A} ={\begin{pmatrix}1&0&0&1\\1&0&0&-1\\0&1&1&0\\0&i&-i&0\\\end{pmatrix}}}$

そして⊗はテンソル（クロネッカー）積です。

（...）

ジョーンズ行列には 8 つの独立したパラメータ（2 行 2 列の行列の 4 つの複素数値のそれぞれに対して 2 つの直交座標または極座標成分）がありますが、絶対位相情報は [上記の式] では失われ、ジョーンズ行列から導出されたミュラー行列の独立した行列要素は 7 つだけになります。

以下に、いくつかの理想的な一般的な光学素子のミュラー行列を示します。

局所フレームから実験フレームへの 参照フレーム回転^{[3]の一般的な表現：}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos {(2\theta )}&\sin {(2\theta )}&0\\0&-\sin {(2\theta )}&\cos { (2\シータ )}&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad }$

ここで、は回転角度です。実験室フレームからローカル フレームへの回転では、正弦項の符号が反転します。 ${\displaystyle \theta}$

直線偏光子（水平透過）

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

他の偏光子の回転角度のミュラー行列は、参照フレームの回転によって生成できます。

直線偏光子（垂直透過）

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

直線偏光子（+45°透過）

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

直線偏光子（−45°透過）

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

一般的な直線偏光子マトリックス

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&\cos {(2\theta )}&\sin {(2\theta )}&0\\\cos {(2\theta )}&\cos ^{2}(2\theta )&\cos(2\theta )\sin(2\theta )&0\\\sin {(2\theta )}&\cos(2\theta )\sin(2\theta )&\sin ^{2}(2\theta )&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad }$

ここで偏光子の回転角度です。 ${\displaystyle \theta }$

一般的な線形リターダ（波長板の計算はここから行われます）

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos ^{2}(2\theta )+\sin ^{2}(2\theta )\cos(\delta )&\cos(2\theta )\sin(2\theta )\left(1-\cos(\delta )\right)&\sin(2\theta )\sin(\delta )\\0&\cos(2\theta )\sin(2\theta )\left(1-\cos(\delta )\right)&\cos ^{2}(2\theta )\cos(\delta )+\sin ^{2}(2\theta )&-\cos(2\theta )\sin(\delta )\\0&-\sin(2\theta )\sin(\delta )&\cos(2\theta )\sin(\delta )&\cos(\delta )\end{pmatrix}}\quad }$

ここで、は高速軸と低速軸の位相差であり、は低速軸の角度です。${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \theta }$

1/4波長板（高速軸垂直）

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$

1/4波長板（高速軸水平）

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}}$

半波長板（高速軸水平および垂直、また、理想的なミラー）

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

減衰フィルター（透過率25%）

${\displaystyle {1 \over 4}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad }$

ミュラー/ストークス構造は、多光子励起蛍光や第二高調波発生などの非線形光学過程の記述にも使用できます。ミュラーテンソルは、ミュラー行列とジョーンズ行列との直接的な類推によって、実験室フレームのジョーンズテンソルに結び付けることができます。

${\displaystyle \mathrm {M} ^{(2)}=\mathrm {A} \left(\chi ^{(2)*}\otimes \chi ^{(2)}\right):\mathrm {A} ^{-1}\mathrm {A} ^{-1}}$、

ここで、は一対の入射ストークスベクトルによって生成されるストークスベクトルを記述するランク3のミュラーテンソルであり、は2×2×2実験室フレームのジョーンズテンソルです。 ${\displaystyle M^{(2)}}$${\displaystyle \chi ^{(2)}}$

• ストークスパラメータ
• ジョーンズ計算
• 偏光（波）

• E. Collett (2005) Field Guide to Polarization、SPIE Field Guides vol. FG05、SPIE ISBN 0-8194-5868-6。 
• ユージン・ヘクト（1987）光学、第2版、Addison-Wesley ISBN 0-201-11609-X。 
• デル トロ イニエスタ、ホセ カルロス (2003)。分光偏光分析入門。ケンブリッジ、イギリス:ケンブリッジ大学出版局。p. 227。ISBN 978-0-521-81827-8。
• N. Mukunda他 (2010)「偏光光学におけるプレミュラー行列とミュラー行列の完全な特性評価」、Journal of the Optical Society of America A 27(2): 188 ～ 99 doi :10.1364/JOSAA.27.000188 MR 2642868
• William Shurcliff (1966) 「偏光：生成と使用」、第8章「ミュラー微積分とジョーンズ微積分」、109ページ、ハーバード大学出版局。
• シンプソン、ガース（2017）。化学と生物学における非線形光学偏光解析。ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局。p. 392。ISBN 978-0-521-51908-3。