複素解析における数式
複素解析 において 、 イェンセンの公式は円上の 解析関数 の平均の大きさと 円内の 零点 の数を関連付けます。この公式は ヨハン・イェンセン(1899) によって導入され、 整関数 の研究において重要な主張となっています 。
が 、原点の周りの 半径 の 閉円板を 含む 複素平面 上の領域内の解析関数であり、 の内部に ある の零点 （それぞれの重複度に応じて繰り返される）であり、 であるとします 。
ふ
{\displaystyle f}
Ｃ
{\displaystyle \mathbb {C} }
だ
r
{\displaystyle \mathbb {D} _{r}}
r > 0
{\displaystyle r>0}
1つの
1
、
1つの
2
、 … 、
1つの
ん
{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}
ふ
{\displaystyle f}
だ
r
{\displaystyle \mathbb {D} _{r}}
ふ （ 0 ） ≠ 0
{\displaystyle f(0)\neq 0}
ジェンセンの公式 によれば [1]
ログ
|
ふ （ 0 ）
|
= −
∑
け = 1
ん
ログ
（
r
|
1つの
け
|
）
+
1
2 π
∫
0
2 π
ログ
|
ふ （ r
e
私 θ
）
|
d θ 。
{\displaystyle \log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .}
この公式は、の内部における の 零点の 絶対値 と境界円 上の の平均
との間の関係を確立し 、 調和関数 の平均値特性の一般化として見ることができる。すなわち、に零点がない 場合 、Jensen の公式は次のように簡約される。
ふ
{\displaystyle f}
だ
r
{\displaystyle \mathbb {D} _{r}}
ログ
|
ふ （ ず ）
|
{\displaystyle \log |f(z)|}
|
ず
|
= r
{\displaystyle |z|=r}
ふ
{\displaystyle f}
だ
r
{\displaystyle \mathbb {D} _{r}}
ログ
|
ふ （ 0 ）
|
=
1
2 π
∫
0
2 π
ログ
|
ふ （ r
e
私 θ
）
|
d θ 、
{\displaystyle \log |f(0)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta ,}
これは調和関数の平均値特性です 。
ログ
|
ふ （ ず ）
|
{\displaystyle \log |f(z)|}
よく使われるジェンセンの公式に相当する表現は、
1
2 π
∫
0
2 π
ログ
|
ふ （ r
e
私 θ
）
|
d θ − ログ
|
ふ （ 0 ）
|
=
∫
0
r
ん （ t ）
t
d t
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta -\log |f(0)|=\int _{0}^{r}{\frac {n(t)}{t}}\,dt}
ここで、は 原点を中心とする
半径の円盤内 のゼロの数を表します。
n
(
t
)
{\displaystyle n(t)}
f
{\displaystyle f}
t
{\displaystyle t}
証明 [1] のケースを証明すれば十分です 。
r
=
1
{\displaystyle r=1}
円境界上に零点が含まれる 場合、 を定義できます 。ここで、零点は円境界上にあります 。 の定理、つまり円境界上に零点がない場合の定理を証明することに帰着します 。
f
{\displaystyle f}
g
(
z
)
=
f
(
z
)
∏
k
(
z
−
e
i
θ
k
)
{\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{\prod _{k}(z-e^{i\theta _{k}})}}}
e
i
θ
k
{\displaystyle e^{i\theta _{k}}}
∫
0
2
π
ln
|
e
i
θ
−
e
i
θ
k
|
d
θ
=
2
∫
0
π
ln
(
2
sin
θ
)
d
θ
=
0
,
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\ln |e^{i\theta }-e^{i\theta _{k}}|d\theta =2\int _{0}^{\pi }\ln(2\sin \theta )d\theta =0,}
g
{\displaystyle g}
除去可能な特異点をすべて定義して埋めます。 で解析的であり 、 に根を持たない 関数が得られます 。
F
(
z
)
:=
f
(
z
)
∏
k
=
1
n
(
z
−
a
k
)
{\displaystyle F(z):={\frac {f(z)}{\prod _{k=1}^{n}(z-a_{k})}}}
F
{\displaystyle F}
B
(
0
,
1
+
ϵ
)
{\displaystyle B(0,1+\epsilon )}
B
(
0
,
1
)
{\displaystyle B(0,1)}
は調和関数な ので、これに ポアソン積分公式 を適用して、次のように書くことが できる 。
log
|
F
|
=
R
e
(
log
F
)
{\displaystyle \log |F|=Re(\log F)}
log
|
F
(
0
)
|
=
1
2
π
∫
0
2
π
log
|
F
(
e
i
θ
)
|
d
θ
=
1
2
π
∫
0
2
π
log
|
f
(
e
i
θ
)
|
d
θ
−
∑
k
=
1
n
1
2
π
∫
0
2
π
log
|
e
i
θ
−
a
k
|
d
θ
.
{\displaystyle \log |F(0)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |F(e^{i\theta })|\,d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta -\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |e^{i\theta }-a_{k}|\,d\theta .}
∫
0
2
π
log
|
e
i
θ
−
a
k
|
d
θ
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\log |e^{i\theta }-a_{k}|\,d\theta }
∫
0
2
π
log
|
e
i
θ
−
a
k
|
d
θ
=
∫
0
2
π
log
|
1
−
a
k
e
−
i
θ
|
d
θ
=
R
e
∫
0
2
π
log
(
1
−
a
k
e
−
i
θ
)
d
θ
.
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\log |e^{i\theta }-a_{k}|\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }\log |1-a_{k}e^{-i\theta }|\,d\theta =Re\int _{0}^{2\pi }\log(1-a_{k}e^{-i\theta })\,d\theta .}
ここで、 は、 半径 の円に沿った 関数 の周回積分の倍数です 。 には極がないので 、周回積分はゼロです。
∫
0
2
π
log
(
1
−
a
k
e
−
i
θ
)
d
θ
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\log(1-a_{k}e^{-i\theta })\,d\theta }
log
(
1
−
z
)
/
z
{\displaystyle \log(1-z)/z}
|
a
k
|
<
1
{\displaystyle |a_{k}|<1}
log
(
1
−
z
)
/
z
{\displaystyle \log(1-z)/z}
B
(
0
,
|
a
k
|
)
{\displaystyle B(0,|a_{k}|)}
アプリケーション ジェンセンの公式は、円内の解析関数の零点の数を推定するのに使用できます。つまり、が を中心とする 半径の円板上の解析関数であり 、 がその円板の境界上で で区切られている場合 、
同じ 点を中心とする 半径の円内の の
零点の数は、
f
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle R}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
|
f
|
{\displaystyle |f|}
M
{\displaystyle M}
f
{\displaystyle f}
r
<
R
{\displaystyle r<R}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
1
log
(
R
/
r
)
log
M
|
f
(
z
0
)
|
.
{\displaystyle {\frac {1}{\log(R/r)}}\log {\frac {M}{|f(z_{0})|}}.}
イェンセンの公式は、整関数および有理型関数の値の分布の研究において重要な定理である。特に、これは ネヴァンリンナ理論 の出発点であり、整関数の零点の数の推定を必要とする アダマール因数分解定理 の証明によく登場する。
ジェンセンの公式は、 を持つ 準解析関数 に対する パレイ・ウィーナーの定理 の一般化を証明するためにも使用されます。 制御理論 の分野 （特に スペクトル分解法）では、この一般化は パレイ・ウィーナー条件 と呼ばれることがよくあります 。
r
→
1
{\displaystyle r\rightarrow 1}
一般化 ジェンセンの公式は、単に 上で有理型である関数に対して一般化することができる 。つまり、
D
r
{\displaystyle \mathbb {D} _{r}}
f
(
z
)
=
z
l
g
(
z
)
h
(
z
)
,
{\displaystyle f(z)=z^{l}{\frac {g(z)}{h(z)}},}
ここで 、およびはそれぞれおよび
で
零点を持つ 解析関数であるとき
、有理型関数に対するジェンセンの公式は次のように述べている。
g
{\displaystyle g}
h
{\displaystyle h}
D
r
{\displaystyle \mathbb {D} _{r}}
a
1
,
…
,
a
n
∈
D
r
∖
{
0
}
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {D} _{r}\setminus \{0\}}
b
1
,
…
,
b
m
∈
D
r
∖
{
0
}
{\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{m}\in \mathbb {D} _{r}\setminus \{0\}}
log
|
g
(
0
)
h
(
0
)
|
=
log
|
r
m
−
n
−
l
a
1
…
a
n
b
1
…
b
m
|
+
1
2
π
∫
0
2
π
log
|
f
(
r
e
i
θ
)
|
d
θ
.
{\displaystyle \log \left|{\frac {g(0)}{h(0)}}\right|=\log \left|r^{m-n-l}{\frac {a_{1}\ldots a_{n}}{b_{1}\ldots b_{m}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .}
イェンセンの公式は、より一般的なポアソン・イェンセンの公式 の結果であり 、この公式はイェンセンの公式から に メビウス変換を適用することで導かれる。この公式は ロルフ・ネヴァンリンナ によって導入され命名された 。 が単位円上で解析的な関数で、単位円の内部に零点が
ある場合、 単位円上の 任意の に対して、 ポアソン・イェンセンの公式は 次のように述べる。
z
{\displaystyle z}
f
{\displaystyle f}
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}
z
0
=
r
0
e
i
φ
0
{\displaystyle z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0}}}
log
|
f
(
z
0
)
|
=
∑
k
=
1
n
log
|
z
0
−
a
k
1
−
a
¯
k
z
0
|
+
1
2
π
∫
0
2
π
P
r
0
(
φ
0
−
θ
)
log
|
f
(
e
i
θ
)
|
d
θ
.
{\displaystyle \log |f(z_{0})|=\sum _{k=1}^{n}\log \left|{\frac {z_{0}-a_{k}}{1-{\bar {a}}_{k}z_{0}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta .}
ここ、
P
r
(
ω
)
=
∑
n
∈
Z
r
|
n
|
e
i
n
ω
{\displaystyle P_{r}(\omega )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }r^{|n|}e^{in\omega }}
は単位円上の ポアソン核 である。関数が 単位円上に零点を持たない場合、ポアソン-ジェンセンの公式は次のように簡約される。
f
{\displaystyle f}
log
|
f
(
z
0
)
|
=
1
2
π
∫
0
2
π
P
r
0
(
φ
0
−
θ
)
log
|
f
(
e
i
θ
)
|
d
θ
,
{\displaystyle \log |f(z_{0})|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta ,}
これは調和関数の ポアソン公式 です 。
log
|
f
(
z
)
|
{\displaystyle \log |f(z)|}
参照
参考文献
^ a b Ahlfors, Lars V. (1979). 「5.3.1, Jensen の公式」. 複素解析: 1 つの複素変数の解析関数の理論入門 (第 3 版). ニューヨーク: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1 . OCLC 4036464.
出典 アルフォース、ラース V. (1979)、 「複素解析。複素変数 1 個の解析関数の理論入門」 、国際純粋・応用数学シリーズ (第 3 版)、デュッセルドルフ: McGraw–Hill、 ISBN 0-07-000657-1 、 ZBL 0395.30001 Jensen, J. (1899)、「Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions」、 Acta Mathematica (フランス語)、 22 (1): 359–364、 doi : 10.1007/BF02417878 、 ISSN 0001-5962、 JFM 30.0364.02、 MR 1554908 Paley, Raymond EAC ; Wiener, Norbert (1934)。 複素領域におけるフーリエ変換 。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会 。ISBN 978-0-8218-1019-4 。 ランズフォード、トーマス（1995）、 複素平面におけるポテンシャル理論 、ロンドン数学会学生テキスト、第28巻、ケンブリッジ： ケンブリッジ大学出版局 、 ISBN 0-521-46654-7 、 ZBL 0828.31001 Sayed, AH; Kailath, T. (2001). 「スペクトル因数分解法の調査」. 数値線形代数とその応用 . 8 (6–7): 467–496. doi :10.1002/nla.250. ISSN 1070-5325. 
