ペティスインテグラル

数学において、ペティス積分（またはゲルファント＝ペティス積分）は、イスラエル・M・ゲルファントとビリー・ジェームズ・ペティスにちなんで名付けられ、双対性を利用して、測度空間上のベクトル値関数にルベーグ積分の定義を拡張するものである。この積分は、測度空間がルベーグ測度を持つ区間である場合について、ゲルファントによって導入された。この積分は、強い積分であるボフナー積分と対照的に、弱い積分とも呼ばれる。

させて${\displaystyle f:X\to V}$どこ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$は測定空間であり、${\displaystyle V}$は、連続双対空間を持つ位相ベクトル空間（TVS）である。${\displaystyle V'}$ポイントを分離する（つまり、${\displaystyle x\in V}$がゼロでない場合、何らかの${\displaystyle l\in V'}$そのため${\displaystyle l(x)\neq 0}$）、 例えば、${\displaystyle V}$はノルム空間、または（より一般的には）ハウスドルフ局所凸TVSである。汎関数の評価は双対ペアとして記述できる。 $${\displaystyle \langle \varphi ,x\rangle =\varphi [x].}$$

地図${\displaystyle f:X\to V}$と呼ばれるすべての${\displaystyle \varphi \in V',}$スカラー値マップ${\displaystyle \varphi \circ f}$は可測写像である。弱可測写像${\displaystyle f:X\to V}$と言われている弱積分可能${\displaystyle X}$もし存在するならば${\displaystyle e\in V}$すべての${\displaystyle \varphi \in V',}$スカラー値マップ${\displaystyle \varphi \circ f}$ルベーグ積分可能（つまり、${\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}$） そして $${\displaystyle \varphi (e)=\int _{X}\varphi (f(x))\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

地図${\displaystyle f:X\to V}$と言われているペティス積分可能${\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}$すべての人々のために${\displaystyle \varphi \in V^{\prime }}$また、すべての${\displaystyle A\in \Sigma }$ベクトルが存在する${\displaystyle e_{A}\in V}$そのため $${\displaystyle \langle \varphi ,e_{A}\rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{ for all }}\varphi \in V'.}$$

この場合、${\displaystyle e_{A}}$と呼ばれるペティス積分${\displaystyle f}$の上${\displaystyle A.}$ペティス積分の一般的な表記法${\displaystyle e_{A}}$含む $${\displaystyle \int _{A}f\,\mathrm {d} \mu ,\qquad \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\quad {\text{また、}}~A=X~{\text{が省略されている場合は、}}\quad \mu [f].}$$

「弱積分可能」の定義の背後にある動機を理解するために、次の特殊なケースを考えてみましょう。${\displaystyle V}$は基礎となるスカラー場です。つまり、${\displaystyle V=\mathbb {R} }$または${\displaystyle V=\mathbb {C} .}$この場合、すべての線形関数${\displaystyle \varphi }$の上${\displaystyle V}$形式は${\displaystyle \varphi (y)=sy}$あるスカラーに対して${\displaystyle s\in V}$（つまり、${\displaystyle \varphi }$（これは定数によるスカラー乗算にすぎない）条件 $${\displaystyle \varphi (e)=\int _{A}\varphi (f(x))\,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{for all}}~\varphi \in V',}$$ 簡略化すると $${\displaystyle se=\int _{A}sf(x)\,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{すべてのスカラー}}~sについて}$$ 特に、この特別なケースでは、${\displaystyle f}$弱積分可能${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle f}$ルベーグ積分可能である。

地図${\displaystyle f:X\to V}$と言われているダンフォード積分可能${\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}$すべての人々のために${\displaystyle \varphi \in V^{\prime }}$また、すべての${\displaystyle A\in \Sigma }$ベクトルが存在する${\displaystyle d_{A}\in V'',}$と呼ばれるダンフォード積分${\displaystyle f}$の上${\displaystyle A,}$そのため $${\displaystyle \langle d_{A},\varphi \rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{ for all }}\varphi \in V'}$$ どこ${\displaystyle \langle d_{A},\varphi \rangle =d_{A}(\varphi ).}$

すべてのベクトルを特定します${\displaystyle x\in V}$スカラー値関数マップを使用して${\displaystyle V'}$定義される${\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x).}$この割り当ては、正準評価マップと呼ばれるマップを誘導し、それを通して、${\displaystyle V}$は、二重双対のベクトル部分空間として識別される。${\displaystyle V''.}$ スペース${\displaystyle V}$この写像が全射である場合に限り、半反射空間である。${\displaystyle f:X\to V}$ペティス積分可能かどうかは、$d_A ∈ V$すべての${\displaystyle A\in \Sigma .}$

この定義から直ちに導かれる結果として、ペティス積分は連続線形演算子と互換性がある。${\displaystyle \Phi \colon V_{1}\to V_{2}}$線形かつ連続であり、${\displaystyle f\colon X\to V_{1}}$ペティス積分可能ならば、${\displaystyle \Phi \circ f}$ペティス積分も可能で、$$\displaystyle \int _{X}\Phi (f(x))\,d\mu (x)=\Phi \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right).}$$

標準推定値$$\left|\int_{X}f(x)\,d\mu(x)\right|\leq\int_{X}|f(x)|\,d\mu(x)}$$実数値関数および複素数値関数については、次の意味でペティス積分に一般化されます。すべての連続セミノルムについて${\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R} }$ペティス積分可能${\displaystyle f\colon X\to V}$、$${\displaystyle p\left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)\leq {\underline {\int _{X}}}p(f(x))\,d\mu (x)}$$が成り立つ。右辺は、のルベーグ積分の下側である。${\displaystyle [0,\infty ]}$値関数、つまり、$${\displaystyle {\underline {\int _{X}}}g\,d\mu$$ :=\sup \left\{\left.\int _{X}h\,d\mu \;\right|\;h\colon X\to [0,\infty ]{\text{ は測定可能であり、}}0\leq h\leq g\right\}.} 被積分関数が小さいため、下ルベーグ積分を取る必要がある。${\displaystyle p\circ f}$測定できない可能性がある。これは、すべてのベクトルに対して、ハーン・バナッハの定理から導かれる。${\displaystyle v\in V}$連続関数が存在しなければならない${\displaystyle \varphi \in V^{*}}$そのため${\displaystyle \varphi (v)=p(v)}$そしてすべての${\displaystyle w\in V}$、${\displaystyle |\varphi (w)|\leq p(w)}$これを適用して${\displaystyle v:=\int _{X}f\,d\mu }$結果を示します。

させて${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$を確率空間とし、${\displaystyle V}$を、点を分離する双対空間を持つ位相ベクトル空間とする。${\displaystyle v_{n}:\Omega \to V}$をペティス積分可能な確率変数の列とし、${\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}$ペティス積分の場合${\displaystyle v_{n}}$（以上${\displaystyle X}$）。 ご了承ください${\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}$は（非ランダムな）ベクトルです${\displaystyle V,}$また、スカラー値ではありません。

させて $${\displaystyle {\bar {v}}_{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}v_{n}}$$ 標本平均を表す。線形性により、${\displaystyle {\bar {v}}_{N}}$ペティス積分可能であり、 $${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [v_{n}]\in V.}$$

部分和が $${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [{\bar {v}}_{n}]}$$ トポロジーにおいて絶対的に収束する${\displaystyle V,}$和のすべての並べ替えが単一のベクトルに収束するという意味で${\displaystyle \lambda \in V.}$大数の弱法則は、${\displaystyle \langle \varphi ,\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]-\lambda \rangle \to 0}$すべての機能について${\displaystyle \varphi \in V^{*}.}$その結果、${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]\to \lambda }$弱いトポロジーにおいて${\displaystyle X.}$

さらなる仮定なしに、${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]}$収束しない${\displaystyle \lambda .}$強い収束を得るためには、より多くの仮定が必要となる。

• Bochner measurable function
• Bochner integral – Concept in mathematics
• Bochner space – Type of topological space
• Vector measure – Generalization of finite measure to Banach spaces
• Weakly measurable function

• James K. Brooks, Representations of weak and strong integrals in Banach spaces, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 63, 1969, 266–270. FulltextMR 0274697
• Israel M. Gel'fand, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Math. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Math. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202
• Michel Talagrand, Pettis Integral and Measure Theory, Memoirs of the AMS no. 307 (1984) MR 0756174
• Sobolev, V. I. (2001) [1994], "Pettis integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press