ハイブリッドシステム

ハイブリッドシステムは、連続的および離散的な動的動作の両方を示す動的システムであり、フロー（微分方程式で記述）とジャンプ（状態マシン、オートマトン、または差分方程式で記述）の両方が可能なシステムです。^[1]多くの場合、「ハイブリッドシステム」の代わりに「ハイブリッド動的システム」という用語が使用され、ニューラルネットとファジーロジックの組み合わせや、電気駆動系と機械駆動系の組み合わせなどの「ハイブリッドシステム」の他の用法と区別します。ハイブリッドシステムには、その構造内に大規模なシステムのクラスを包含するという利点があり、動的現象をより柔軟にモデル化できます。

一般に、ハイブリッド システムの状態は、連続変数の値と離散モードによって定義されます。状態は、フロー条件に従って連続的に変化するか、制御グラフに従って離散的に変化します。連続フローは、いわゆる不変条件が保持される限り許可されますが、離散遷移は、指定されたジャンプ条件が満たされるとすぐに発生する可能性があります。離散遷移は、イベントに関連付けられる場合があります。

ハイブリッド システムは、影響のある物理システム、ロジック動的コントローラー、さらにはインターネットの輻輳 など、さまざまなサイバー フィジカル システムをモデル化するために使用されてきました。

ハイブリッド システムの標準的な例としては、跳ねるボール、つまり衝撃を伴う物理システムがあります。ここでは、ボール (質点と考えられる) が最初の高さから落とされて地面に跳ね返り、跳ね返るたびにエネルギーを消散させます。ボールは、跳ね返るたびに連続的なダイナミクスを示します。ただし、ボールが地面に衝突すると、その速度は非弾性衝突をモデル化した離散的な変化を起こします。跳ねるボールの数学的記述は次のとおりです。をボールの高さ、 をボールの速度とします。ボールを記述するハイブリッド システムは次のとおりです。 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

のとき、流れは によって決まります 。ここで は重力による加速度です。これらの式は、ボールが地面より上にあるとき、ボールは重力によって地面に引き寄せられていることを示しています。 ${\displaystyle x\in C=\{x_{1}>0\}}$${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=x_{2},{\dot {x}}_{2}=-g}$${\displaystyle g}$

のとき、ジャンプは によって決まります 。ここで は散逸係数です。これは、ボールの高さがゼロ (地面に衝突した) のとき、ボールの速度が逆転し、 倍に減少することを意味します。実質的に、これは非弾性衝突の性質を説明しています。 ${\displaystyle x\in D=\{x_{1}=0\}}$${\displaystyle x_{1}^{+}=x_{1},x_{2}^{+}=-\gamma x_{2}}$${\displaystyle 0<\gamma <1}$${\displaystyle \gamma}$

跳ね返るボールはゼノ挙動を示すため、特に興味深いハイブリッド システムです。ゼノ挙動には厳密な数学的定義がありますが、非公式には、システムが有限の時間内に無限のジャンプを行うと説明できます。この例では、ボールが跳ね返るたびにエネルギーが失われ、その後のジャンプ (地面への衝突) の間隔が時間的にどんどん短くなります。

地面とボールの間の接触力を加えた場合にのみ、動的モデルが完全であることは注目に値します。実際、力がなければ、跳ねるボールを適切に定義できず、力学の観点からはモデルは無意味です。ボールと地面の相互作用を表す最も単純な接触モデルは、力とボールと地面の間の距離（ギャップ）との間の相補関係です。これは、と記述されます。この ような接触モデルには、磁力も接着効果も組み込まれていません。相補関係が成り立つと、衝撃が蓄積されて消えた後もシステムを積分し続けることができます。システムの平衡は、接触力によって補償された重力の作用下にある、地面上のボールの静的平衡として明確に定義されます。基本的な凸解析から、相補関係は通常の円錐への包含として同等に書き直すことができることもわかります。そのため、跳ねるボールのダイナミクスは、凸集合に対する通常の円錐への微分包含です。以下に引用した Acary-Brogliato の著書 (Springer LNACM 35、2008) の第 1 章、第 2 章、第 3 章を参照してください。また、非滑らかな力学に関するその他の参考文献も参照してください。 ${\displaystyle 0\leq \lambda \perp x_{1}\geq 0.}$${\displaystyle \lambda}$

ハイブリッド システムの特性を自動的に証明する方法はいくつかあります (たとえば、以下で説明するツールの一部)。ハイブリッド システムの安全性を証明するための一般的な手法は、到達可能セットの計算、抽象化の改良、バリア証明書です。

検証タスクのほとんどは決定不可能であるため^[2] 、一般的な検証アルゴリズムは不可能です。代わりに、ツールはベンチマーク問題に対する能力について分析されます。これを理論的に特徴付けると、すべての堅牢なケースでハイブリッドシステムの検証に成功するアルゴリズムが考えられます^[3]。これは、ハイブリッドシステムの多くの問題が決定不可能ではあるものの、少なくとも準決定可能であることを意味します^[4]

基本的なハイブリッド システム モデリング アプローチは、暗黙的アプローチと明示的アプローチの 2 つに分類できます。明示的アプローチは、ハイブリッド オートマトン、ハイブリッド プログラム、またはハイブリッドペトリ ネットで表現されることがよくあります。暗黙的アプローチは、多くの場合、ガード方程式で表現され、アクティブな方程式がハイブリッド ボンド グラフなどによって変化する可能性がある微分代数方程式(DAE) のシステムになります。

ハイブリッドシステム解析のための統一シミュレーション手法として、微分方程式の積分器を原子DEVSモデルに量子化するDEVS形式に基づく手法がある。これらの手法は、離散時間システムとは異なる離散イベントシステムの方法でシステム動作のトレースを生成する。この手法の詳細については、参考文献[Kofman2004] [CF2006] [Nutaro2010]およびソフトウェアツールPowerDEVSに記載されている。

• HyEQ ツールボックス: MATLABおよびSimulink用のハイブリッド システム ソルバー
• PowerDEVS :ハイブリッド システムのシミュレーションを目的としたDEVS (離散イベント システム) モデリングおよびシミュレーション用の汎用ツール

• Ariadne:非線形ハイブリッドシステムの（数値的に厳密な）到達可能性解析のためのC++ライブラリ
• CORA: ハイブリッド システムを含むサイバー フィジカル システムの到達可能性分析のための MATLAB ツールボックス
• Flow*: 非線形ハイブリッドシステムの到達可能性解析ツール
• HyCreate: ハイブリッドオートマトン到達可能性を過剰近似するツール
• HyPro: ハイブリッド システムの到達可能性分析のための状態セット表現の C++ ライブラリ
• JuliaReach: セットベースの到達可能性のためのツールボックス

• C2E2: 非線形ハイブリッドシステム検証
• HyTech: ハイブリッドシステム向けモデルチェッカー
• HSolver: ハイブリッドシステムの検証ツール
• KeYmaera:ハイブリッドシステムのための定理証明器
• PHAVer: 多面体ハイブリッドオートマトン検証器
• S-TaLiRo: 時相論理仕様に関するハイブリッド システムの検証用 MATLAB ツールボックス

• SCOTS: ハイブリッドシステム用の正しい構築コントローラの合成ツール
• SpaceEx: 状態空間探査機

• ハイブリッドオートマトン
• スライディングモード制御
• 可変構造システム
• 可変構造制御
• 共同スペクトル半径
• サイバーフィジカルシステム
• 行動ツリー（人工知能、ロボット工学、制御）
• ジャンププロセス（確率の文脈で）、ゼロフロー成分を持つ（確率的）ハイブリッドシステムの例
• 区分的決定論的マルコフ過程（PDMP）、（確率的）ハイブリッドシステムの例およびジャンプ過程の一般化
• ジャンプ拡散、（確率的）ハイブリッドシステムの例とPDMPの一般化

• Henzinger, Thomas A. (1996)、「ハイブリッドオートマトン理論」、第 11 回コンピュータサイエンスにおける論理に関する年次シンポジウム (LICS)、IEEE コンピュータ ソサエティ プレス、pp. 278–292、2010 年 1 月 27 日のオリジナルからアーカイブ
• Alur, Rajeev; Courcoubetis, Costas; Halbwachs, Nicolas; Henzinger, Thomas A.; Ho, Pei-Hsin; Nicollin, Xavier; Olivero, Alfredo; Sifakis, Joseph; Yovine, Sergio (1995)、「ハイブリッド システムのアルゴリズム分析」、Theoretical Computer Science、138 (1): 3–34、doi :10.1016/0304-3975(94)00202-T、hdl : 1813/6241、2010-01-27にオリジナルからアーカイブ
• ゲーベル、ラファル; サンフェリス、リカルド G.; ティール、アンドリュー R. (2009)、「ハイブリッド動的システム」、IEEE 制御システム マガジン、29 (2): 28–93、doi :10.1109/MCS.2008.931718、S2CID  46488751
• Acary, Vincent; Brogliato, Bernard (2008)、「非滑らかな動的システムの数値解析法」、応用および計算力学の講義ノート、第35巻、doi :10.1007/978-3-540-75392-6、ISBN 978-3-540-75391-9
• [Kofman2004] Kofman, E (2004)、「ハイブリッドシステムの離散イベントシミュレーション」、SIAM Journal on Scientific Computing、25 (5): 1771–1797、Bibcode :2004SJSC...25.1771K、CiteSeerX 10.1.1.72.2475、doi :10.1137/S1064827502418379 
• [CF2006] Francois E. Cellier および Ernesto Kofman (2006)、Continuous System Simulation (初版)、Springer、ISBN 978-0-387-26102-7
• [Nutaro2010] James Nutaro (2010)、「シミュレーション用ソフトウェアの構築：C++ による理論、アルゴリズム、アプリケーション」（初版）、Wiley
• Brogliato, Bernard; Tanwani, Aneel (2020)、「単調集合値演算子と結合した動的システム: 形式、アプリケーション、適切性、安定性」(PDF)、SIAM Review、62 (1): 3–129、doi :10.1137/18M1234795、S2CID  212727046

• IEEE CSS ハイブリッドシステム委員会