バリア証明書

バリア証明書[ ^1]またはバリア関数は、与えられた常微分方程式またはハイブリッド力学系に対して、与えられた領域が順方向不変であることを証明するために使用されます。^[2]つまり、バリア関数は、解が与えられた集合内で始まる場合、その集合を離れることができないことを示すために使用できます。

集合が前方不変であることを示すことは安全性の一側面であり、安全性とは、システムが安全でない集合として指定された障害物を回避することが保証される特性です。

バリア証明書は、安定性におけるリャプノフ関数の役割と同様の役割を果たし、安全性においても同様の役割を果たします。特定のタイプの安全性特性を確実に満たすすべての常微分方程式には、対応するバリア証明書が存在します。^[3]

歴史

バリア証明書の分野における最初の成果は、1942年に南雲道雄によって発表された南雲定理であった。 ^[4]^[5]「バリア証明書」という用語は、後に凸最適化におけるバリア関数と呼ばれる同様の概念に基づいて導入された。^[4]

バリア証明書は2004年にStephen PrajnaとAli Jadbabaieによってハイブリッドシステムに一般化されました。^[6]

バリエーション

バリア関数にはいくつかの種類があります。1つの特徴は、順方向不変集合の境界におけるバリア関数の挙動です。入力が境界に近づくにつれてゼロになるバリア関数は、ゼロ化バリア関数と呼ばれます。 ^[7]入力が境界に近づくにつれて無限大になるバリア関数は、逆数バリア関数と呼ばれます。^{[7]ここで、「逆数」とは、逆数バリア関数がゼロ化バリア関数の}逆数として定義できることを意味します。 $S$ $S$ $S$

参考文献

^ Prajna、Stephen、Ali Jadbabaie。「バリア証明書を使用したハイブリッドシステムの安全性検証」。ハイブリッドシステムに関する国際ワークショップ: 計算と制御。Springer、ベルリン、ハイデルベルク、2004 年。
^ Maghenem, M., Sanfelice, RG (2021年2月). 「バリア関数を用いたハイブリッド包含物の前方不変性と収縮性のための十分条件」. Automatica . 124 :109328 . arXiv : 1908.03980 . doi :10.1016/j.automatica.2020.109328. ISSN 0005-1098.
^ Stefan Ratschan：「安全性とバリア証明書の逆定理」IEEE Trans. on Automatic Control、第 63 巻、第 8 号、2018 年
^ ab Ames、AD、Coogan、S.、Egerstedt、M.、Notomista、G.、Sreenath、K.、Tabuada、P. (2019)、コントロールバリア関数: 理論と応用
^ 南雲、ミティオ(1942)、「Über die lage derintegrkurven gewöhnlicher Differentialgleichungen」、日本数学物理学第 3 紀、 24 : 551–559 (ドイツ語)。英語訳は、Marcel, Menner、Eugene, Lavretsky 著。「Nagumo の障壁関数に関する基礎研究の翻訳: 常微分方程式の積分曲線の位置について」。arXiv : 2406.18614。
^ Prajna, S.、Jadbabaie, A. (2004)、Alur, R.、Pappas, GJ (編)、バリア証明書を使用したハイブリッドシステムの安全性検証、Springer
^ ab Ames, AD, Xu, X., Grizzle, JW, Tabuada, P. (2017 年 8 月). 「安全重視型システムのための制御バリア関数ベースの二次計画法」. IEEE Transactions on Automatic Control . 62 (8): 3861–3876. arXiv : 1609.06408 . doi : 10.1109/TAC.2016.2638961 . ISSN 1558-2523.

[1] Prajna、Stephen、Ali Jadbabaie。「バリア証明書を使用したハイブリッドシステムの安全性検証」。ハイブリッドシステムに関する国際ワークショップ: 計算と制御。Springer、ベルリン、ハイデルベルク、2004 年。

[2] Maghenem, M., Sanfelice, RG (2021年2月). 「バリア関数を用いたハイブリッド包含物の前方不変性と収縮性のための十分条件」. Automatica . 124 :109328 . arXiv : 1908.03980 . doi :10.1016/j.automatica.2020.109328. ISSN 0005-1098.

[3] Stefan Ratschan：「安全性とバリア証明書の逆定理」IEEE Trans. on Automatic Control、第 63 巻、第 8 号、2018 年

[Ames_2019-4] Ames、AD、Coogan、S.、Egerstedt、M.、Notomista、G.、Sreenath、K.、Tabuada、P. (2019)、コントロールバリア関数: 理論と応用

[Nagumo_1942-5] 南雲、ミティオ(1942)、「Über die lage derintegrkurven gewöhnlicher Differentialgleichungen」、日本数学物理学第 3 紀、 24 : 551–559 (ドイツ語)。英語訳は、Marcel, Menner、Eugene, Lavretsky 著。「Nagumo の障壁関数に関する基礎研究の翻訳: 常微分方程式の積分曲線の位置について」。arXiv : 2406.18614。

[6] Prajna, S.、Jadbabaie, A. (2004)、Alur, R.、Pappas, GJ (編)、バリア証明書を使用したハイブリッドシステムの安全性検証、Springer

[Ames_2017-7] Ames, AD, Xu, X., Grizzle, JW, Tabuada, P. (2017 年 8 月). 「安全重視型システムのための制御バリア関数ベースの二次計画法」. IEEE Transactions on Automatic Control . 62 (8): 3861–3876. arXiv : 1609.06408 . doi : 10.1109/TAC.2016.2638961 . ISSN 1558-2523.