大きさと距離について（ヒッパルコス）

プトレマイオスは『アルマゲスト』第5巻第11章で次のように記している。

ヒッパルコスは主に太陽からそのような調査を行った。太陽と月の他の性質（これについては後述する）から、2つの天体の一方の距離が分かれば、もう一方の距離も分かるので、彼は太陽の距離を推測することによって月の距離を証明しようとした。まず、彼は太陽が知覚できる視差をほとんど示さないと仮定してその距離を求めた。次に、彼は自らが持ち出した日食を利用し、最初は太陽が知覚できる視差を示さないかのように扱った。まさにその理由から、彼が立てた仮説ごとに月の距離の比率が異なって見えたのである。しかし、太陽に関しては、その視差の大きさだけでなく、そもそも視差を示すかどうかも全く疑わしい。

この箇所はヒッパルコスが行ったことの概略を示しているが、詳細は記されていない。プトレマイオスは明らかにヒッパルコスの手法に賛同していなかったため、詳細な説明はしなかったのである。

ヒッパルコスの著作は、パップスが4世紀に『アルマゲスト』の注釈書を著した時点でもまだ現存していた。彼はプトレマイオスが省略したいくつかの詳細を補足している。

さて、ヒッパルコスは主に太陽からこのような調査を行ったが、それは正確ではなかった。なぜなら、合と最大距離付近では月は太陽と等しく見え、太陽と月の直径の大きさが与えられている（これについては後述する）ので、定理12にあるように、2つの天体のうち一方の距離が与えられれば、もう一方の距離も与えられることになる。月の距離と太陽と月の直径が与えられれば、太陽の距離が与えられる。ヒッパルコスは視差と太陽の距離を推測することによって月の距離を証明しようとしたが、太陽に関しては、その視差の大きさだけでなく、そもそも視差があるかどうかも全く疑わしい。このように、ヒッパルコスは太陽について、その視差の大きさだけでなく、そもそも視差があるかどうかについても疑念を抱いていたのである。最初の著書『大きさと距離について』では、地球は太陽に対して点と中心の比率を持つと仮定されている。そして、彼が持ち出した日食によって…

その後、

「大きさと距離について」の第 1 巻で、彼は次の観察を取り上げています。ヘレスポント海峡周辺の地域では太陽円盤全体が完全に覆われ、その一部も見えなかった日食がありましたが、エジプトのアレクサンドリアではその約 5 分の 4 が覆われました。これによって彼は第 1 巻で、地球の半径を 1 とする単位で、月の最小距離は 71、最大距離は 83 であることを示しています。したがって平均は 77... また、彼自身は「大きさと距離について」の第 2 巻で、多くの考察から、地球の半径を 1 とする単位で、月の最小距離は 62、平均は 67 1/3 、太陽の距離は 490 であることを示しています。月の最大距離は 72 2/3 であることは明らかです。

この記述は、再構築を可能にするのに十分な詳細情報を提供している。特に、二つの別々の手順があったことを明確にし、それぞれの正確な結果を示している。また、日食を特定するための手がかりを与え、ヒッパルコスが「定理12」のような公式を用いたと述べている。この定理はプトレマイオスのもので、現存している。

フリードリヒ・フルチュは1900年の論文で、パップスの資料は誤って写本されたものであり、ヒッパルコスが計算した太陽までの実際の距離は地球半径の2490倍（490倍ではない）であったと結論づけた。英語と同様に、ギリシャ語でもこの2つの結果には文字が1つしか違いがない。

彼の分析は、ヒッパルコスが太陽は地球の1880倍、地球は月の27倍の大きさだと発見したと述べているスミルナのテオンのテキストに基づいていた。これが体積を指していると仮定すると、

$s={\sqrt[{3}]{1880}}\approx 12+1/3}$

そして

${\displaystyle \ell ={\sqrt[{3}]{1/27}}=1/3}$

太陽と月が空で同じ見かけの大きさを持ち、月が地球の半径の67 1/3の距離にあると仮定すると、次のことが成り立つ。

${\displaystyle S={\frac {s}{\ell }}L\approx {\frac {12+1/3}{1/3}}(67+1/3)=2491+1/3\approx 2490}$

この結果はその後70年間、概ね受け入れられていたが、ノエル・スワードロウがこの事件を再調査したことで状況が変わった。

スワードローは、ヒッパルコスが太陽と月までの距離をプトレマイオスの記述にある方法を用いて関連付けていることを突き止めた。ヒッパルコスは『アルマゲスト』の主要な情報源であったため、この計算方法が元々ヒッパルコス自身によって考案されたとしても不思議ではない。

この計算を用いることで、スワードローはヒッパルコスの二つの結果（月が67 1/3度、太陽が490度）を関連付けることができた。この関係を正確に得るには、非常に精密な一連の近似計算に従う必要がある。

単純な三角関数の恒等式を用いると、

${\displaystyle \ell =L\tan \theta \approx L\sin \theta }$

そして

${\displaystyle h={\frac {\tan \varphi }{\tan \theta }}\ell \approx {\frac {\varphi }{\theta }}\ell \approx {\frac {\varphi }{\theta }}L\sin \theta }$

平行線を用いて、t = 1 とすると、   

${\displaystyle \ell +x=t+(th)=2t-h\Rightarrow x\approx 2-\left({\frac {\varphi }{\theta }}+1\right)L\sin \theta }$

三角形の相似性により、

${\displaystyle {\frac {t}{x}}={\frac {S}{SL}}\Rightarrow S={\frac {L}{1-x}}}$

これらの式を組み合わせると、

$${\displaystyle S\approx {\frac {L}{\left({\frac {\varphi }{\theta }}+1\right)L\sin \theta -1}}=1\left/\left(\left({\frac {\varphi }{\theta }}+1\right)\sin \theta -{\frac {1}{L}}\right)\right.}$$

ヒッパルコスがこれらの変数に用いた値は、プトレマイオスの『アルマゲスト』第4巻第9章に見られる。プトレマイオスによれば、ヒッパルコスは月が自身の円周を約650倍に測り、地球の影の角直径は月の2.5倍であることを発見したという。パップスによれば、ヒッパルコスは月までの平均距離を67 1/3としていた。これに基づくと、次のようになる。

スワードローによれば、ヒッパルコスはこの式を次のように四捨五入して評価した（値は六十進法である）。

${\displaystyle \ell \approx L\sin \theta \approx 0;19,30}$

そして

${\displaystyle h\approx {\frac {\varphi }{\theta }}\ell \approx 0;48,45}$

それから、なぜなら

${\displaystyle \ell +h\approx {\frac {\varphi }{\theta }}L\sin \theta +L\sin \theta =\left({\frac {\varphi }{\theta }}+1\right)L\sin \theta }$

したがって、

${\displaystyle S\approx L/(\ell +h-1)\approx 67;20/0;8,15\approx 489.70\approx 490}$

スワードローはこの結果を用いて、パップスのテキストの正しい読みは490であると主張し、フルチュの解釈を否定した。この結果は、使用された具体的な近似値や丸め方に大きく依存するものの、概ね受け入れられている。しかしながら、月の距離67 1/3がどこから来たのかという疑問は未解決のままである。

パップスとプトレマイオスに倣い、スワードローはヒッパルコスが太陽までの最小距離を地球半径の490倍と推定したと示唆した。この距離は太陽視差7分角に相当し、これは彼が気づかれないと考えた最大値だった可能性がある（人間の目の一般的な分解能は2分角である）。上記で得られた太陽までの距離の公式を逆にして、月までの距離を求めることができる。

${\displaystyle L\approx {\frac {S}{\left({\frac {\varphi }{\theta }}+1\right)S\sin \theta -1}}=1\left/\left(\left({\frac {\varphi }{\theta }}+1\right)\sin \theta -{\frac {1}{S}}\right)\right.}$

上記と同じ値を各角度に使用し、太陽の最小距離を地球半径の490倍とすると、月の平均最大距離は次のようになる。

${\displaystyle L\approx 1\left/\left((2.5+1)\sin 0.277^{\circ }-{\frac {1}{490}}\right)\right.\approx 67.203\approx 67{\tfrac {1}{3}}}$

トゥーマーはこの点をさらに発展させ、太陽までの距離が際限なく増加するにつれて、この式は月の平均距離の最小値に近づくことを指摘した。

${\displaystyle L\approx 1\left/\left((2.5+1)\sin 0.277^{\circ }\right)\right.\approx 59.10}$

これは、後にプトレマイオスが主張した値に近い。

トゥーマーは、ヒッパルコスが達成した最小月距離を説明するだけでなく、日食を利用した第一巻の方法も説明することができた。パップスによれば、この日食はヘレスポント海峡地域では皆既日食であったが、アレクサンドリアでは皆既日食の5分の4しか観測されなかったという。

ヒッパルコスが太陽は無限に遠いと仮定していた（つまり、「地球は太陽に対して点と中心の比率を持つ」と仮定していた）とすれば、日食の規模の差はすべて月の視差によるものに違いない。彼は観測データを用いることで、この視差、ひいては月までの距離を決定できたはずである。

ヒッパルコスは知っていたはずだ$\displaystyle \varphi _{A}}$そして$\displaystyle \varphi _{H}}$それぞれアレクサンドリアとヘレスポントス地方の緯度である。彼はまた、${\displaystyle \delta }$日食中の月の赤緯、そして${\displaystyle \mu }$これは、2つの地域における皆既日食の程度の違いに関係している。

${\displaystyle AH={\frac {t\operatorname {Crd} \angle AOH}{R}}={\frac {t\operatorname {Crd} (\varphi _{H}-\varphi _{A})}{R}}}$

ここで Crd は弦関数を指し、角度を度数で表し、直径が単位の円の弦の対応する長さにマッピングします。また、R はヒッパルコスが弦関数を計算するために使用した基本円の半径であり、t は地球の半径です。月は非常に遠いので、${\displaystyle \zeta '\about \zeta }$この近似を用いると、

${\displaystyle \zeta =\varphi _{H}-\delta }$

${\displaystyle \angle ZHA=180^{\circ }-\angle OHA}$

${\displaystyle \angle OHA={\frac {180^{\circ }-\angle AOH}{2}}={\frac {180^{\circ }-(\varphi _{H}-\varphi _{A})}{2}}}$

したがって、

${\displaystyle \angle ZHA=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}(\varphi _{H}-\varphi _{A})}$

${\displaystyle \angle MHA=\theta =\angle ZHA-\zeta '\approx \angle ZHA-\zeta =90^{\circ }-{\frac {1}{2}}(\varphi _{H}+\varphi _{A})+\delta }$

と${\displaystyle AH}$そして${\displaystyle \theta }$必要なのは${\displaystyle \mu }$取得するため${\displaystyle D'}$Hでは皆既日食、Aでは4/5皆既日食であったことから、${\displaystyle \mu }$太陽の見かけの直径の 1/5 です。この量はヒッパルコスによってよく知られており、彼はこれを完全な円の 1/650 と考えました。地球の中心から月までの距離は、次の式で求められます。${\displaystyle D\approx D'+t}$。

トゥーマーは、ヒッパルコスが小角の弦をどのように決定したかを解明した（弦（幾何学）を参照）。ヘレスポントス海峡（41度）とアレクサンドリア（31度）の緯度に関する彼の値は、ストラボンの『地理学』から知られている。赤緯を決定するには、ヒッパルコスがどの日食を用いたかを知る必要がある。

ヒッパルコスが最終的に月までの距離として与えた値（地球半径の71倍）と日食のおおよその領域を知っていたため、トゥーマーはヒッパルコスが紀元前190年3月14日の日食を使用したことを突き止めることができた。この日食はすべての数学的パラメータに非常によく適合し、歴史的な観点からも理にかなっている。日食はヒッパルコスの出生地であるニカイアで皆既日食であったため、彼はその話を聞いていた可能性がある。ストラボンの『ローマ建国史』第8巻第2章にもその記述がある。この時の月の赤緯は$\displaystyle \delta =-3^{\circ }}$したがって、弦の三角法を用いると、

${\displaystyle \theta =54^{\circ }+\delta }$

${\displaystyle AH={\frac {t\operatorname {Crd} 10^{\circ }}{R}}\approx t\ {\frac {600}{3438}}}$

${\displaystyle \mu ={\frac {360\cdot 60}{5\cdot 650}}}$

${\displaystyle D'={\frac {\operatorname {Crd} 2\theta \cdot AH}{\operatorname {Crd} \mu \cdot 2}}={\frac {\operatorname {Crd} (108^{\circ }+2\delta )\cdot 600\cdot 5\cdot 650}{21600\cdot 2\cdot 3438}}t}$

ヒッパルコスのコード表を使って、

${\displaystyle \operatorname {Crd} (108^{\circ }+2(-3^{\circ }))=\operatorname {Crd} 102^{\circ }\approx 2\cdot 3438\sin 51^{\circ }\approx 5340}$

そしてそれゆえに

${\displaystyle D'={\frac {5340\cdot 600\cdot 5\cdot 650}{21600\cdot 2\cdot 3438}}t\approx 70.1t\Rightarrow D\approx D'+t\approx 71.1t}$

これは、パップスが報告した地球半径の71倍という値とよく一致する。