ヒルベルトの定理 90

抽象代数学 において、ヒルベルトの定理90（またはサッツ90 ）は、体の巡回拡大（またはその一般化の1つ）に関する重要な結果であり、クンマー理論につながります。最も基本的な形式では、L / Kが巡回ガロア群G  = Gal( L / K )を持つ体の拡大で、元によって生成され、が相対ノルム1のLの元である場合、つまり ${\displaystyle \sigma ,}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle N(a):=a\,\sigma (a)\,\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1,}$

すると、Lには${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=b/\sigma (b).}$

この定理は、もともとはクンマー (1855、p.213、1861) によるものですが、デイヴィッド・ヒルベルトの論文(Hilbert 1897、1998)の 90 番目の定理であることからその名前が付けられました。

エミー・ネーター(1933)によるより一般的な定理には 、この名前が付けられることが多い。これは、 L / Kが任意のガロア群G  = Gal( L / K )を持つ体の有限ガロア拡大である場合、 Lの乗法群に係数を持つGの最初のコホモロジー群は自明である、というものである。

${\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}$

を二次拡大とする。ガロア群は位数2の巡回群であり、その生成子は共役を介して作用する。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma :c+di\mapsto c-di.}$

の元はノルム を持つ。したがって、ノルム 1 の元は方程式の有理解、つまり単位円上の有理座標の点に対応する。ヒルベルトの定理 90 によれば、ノルム 1 の元a はすべて次のように書ける。 ${\displaystyle a=x+yi}$${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle a\sigma (a)=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle a={\frac {c-di}{c+di}}={\frac {c^{2}-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}}-{\frac {2cd}{c^{2}+d^{2}}}i,}$

ここで、は定理の結論と同じであり、cとd は両方とも整数です。 これは、単位円上の有理点の有理パラメータ化と見ることができます。単位円上の有理点は、ピタゴラスの三つ組、つまり を満たす整数の三つ組に対応します。 ${\displaystyle b=c+di}$${\displaystyle (x,y)=(p/r,q/r)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle (p,q,r)}$${\displaystyle p^{2}+q^{2}=r^{2}}$

この定理は群コホモロジーの観点から述べることができる。L ^{× が}体Kの任意の（必ずしも有限ではない）ガロア拡大Lの乗法群であり、対応するガロア群Gを持つ場合、

${\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}$

具体的には、群コホモロジーとは、i 次コチェーンが群元のi組から乗法係数群への任意の関数である複体のコホモロジーであり、その微分は次のように次元で定義されます。 ${\displaystyle C^{i}(G,L^{\times })=\{\phi :G^{i}\to L^{\times }\}}$${\displaystyle d^{i}:C^{i}\to C^{i+1}}$${\displaystyle i=0,1}$

${\displaystyle (d^{0}(b))(\sigma )=b/b^{\sigma },\quad {\text{ and }}\quad (d^{1}(\phi ))(\sigma ,\tau )\,=\,\phi (\sigma )\phi (\tau )^{\sigma }/\phi (\sigma \tau ),}$

ここで、 は、群要素 の作用下にある- 加群要素の像を表します。これらの最初のものでは、一意の像値 を持つ0-コチェーンを特定したことに注意してください。最初のコホモロジー群の自明性は、1-コサイクルが1-コ境界 に等しいことと同等です。 ${\displaystyle x^{g}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{b}:G^{0}=id_{G}\to L^{\times }}$${\displaystyle b\in L^{\times }}$${\displaystyle Z^{1}}$${\displaystyle B^{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}Z^{1}&=&\ker d^{1}&=&\{\phi \in C^{1}{\text{ satisfying }}\,\,\forall \sigma ,\tau \in G\,\colon \,\,\phi (\sigma \tau )=\phi (\sigma )\,\phi (\tau )^{\sigma }\}\\{\text{ is equal to }}\\B^{1}&=&{\text{im }}d^{0}&=&\{\phi \in C^{1}\ \,\colon \,\,\exists \,b\in L^{\times }{\text{ such that }}\phi (\sigma )=b/b^{\sigma }\ \ \forall \sigma \in G\}.\end{array}}}$

巡回 の場合、1-コサイクルは によって決定され、次のようになります。${\displaystyle G=\{1,\sigma ,\ldots ,\sigma ^{n-1}\}}$${\displaystyle \phi (\sigma )=a\in L^{\times }}$${\displaystyle \phi (\sigma ^{i})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{i-1}(a)}$

${\displaystyle 1=\phi (1)=\phi (\sigma ^{n})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=N(a).}$

一方、1-共境界は によって決定されます。これらを等しくすると、定理の元のバージョンが得られます。 ${\displaystyle \phi (\sigma )=b/b^{\sigma }}$

さらに一般化して、非アーベル係数 を持つコホモロジーに一般化できる。つまり、 HがL上の一般線型群か特殊線型群（を含む）であれば、${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(L)=L^{\times }}$

${\displaystyle H^{1}(G,H)=\{1\}.}$

もう1つの一般化はスキームXです。

${\displaystyle H_{\text{et}}^{1}(X,\mathbb {G} _{m})=H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X),}$

ここで、はザリスキ位相のランク1の-加群の局所自由層の同型類の群であり、は乗法の下で群として考えられた原点のないアフィン直線によって定義される層である。^[1]${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

ミルノアの K 理論にはさらに別の一般化があり、これはヴォエヴォツキーによるミルノア予想の証明において役割を果たしています。

を次数の巡回とし、を生成する。ノルムの いずれかを選択する。${\displaystyle L/K}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle a\in L}$

${\displaystyle N(a):=a\sigma (a)\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1.}$

分母を消去することで、解くことはが固有値であることを示すことと同じになります。これを-ベクトル空間 の写像に拡張すると、${\displaystyle a=x/\sigma ^{-1}(x)\in L}$${\displaystyle a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\to L}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\begin{cases}1_{L}\otimes a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\otimes _{K}L\to L\otimes _{K}L\\\ell \otimes \ell '\mapsto \ell \otimes a\sigma ^{-1}(\ell ').\end{cases}}}$

原始元定理は、ある に対して成立する。は最小多項式を持つ ので、${\displaystyle L=K(\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(t)=(t-\alpha )(t-\sigma (\alpha ))\cdots \left(t-\sigma ^{n-1}(\alpha )\right)\in K[t],}$

私たちは識別できる

${\displaystyle L\otimes _{K}L{\stackrel {\sim }{\to }}L\otimes _{K}K[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L^{n}}$

経由

${\displaystyle \ell \otimes p(\alpha )\mapsto \ell \left(p(\alpha ),p(\sigma \alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha )\right).}$

ここで、2 番目の因数をの -多項式として書きました。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha }$

この識別の下では、私たちの地図は

${\displaystyle {\begin{cases}a\sigma ^{-1}(\cdot ):L^{n}\to L^{n}\\\ell \left(p(\alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha ))\mapsto \ell (ap(\sigma ^{n-1}\alpha ),\sigma ap(\alpha ),\ldots ,\sigma ^{n-1}ap(\sigma ^{n-2}\alpha )\right).\end{cases}}}$

つまりこの地図の下では

${\displaystyle (\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})\mapsto (a\ell _{n},\sigma a\ell _{1},\ldots ,\sigma ^{n-1}a\ell _{n-1}).}$

${\displaystyle (1,\sigma a,\sigma a\sigma ^{2}a,\ldots ,\sigma a\cdots \sigma ^{n-1}a)}$は、ノルム を持つ場合に限り、固有値 を持つ固有ベクトルです。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 1}$

• David Hilbert (1897)、「Die Theorie der algebraischen Zahlkörper」、Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (ドイツ語)、4 : 175–546、ISSN  0012-0456
• ヒルベルト、デイヴィッド（1998）、代数的数体の理論、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-62779-1、MR  1646901
• Kummer、Ernst Eduard (1855)、「Über eine besondere Art, aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke.」、Journal für die reine und angewandte Mathematik (ドイツ語)、50 : 212–232、doi :10.1515/crll.1855.50.212、ISSN  0075-4102
• Kummer、Ernst Eduard (1861)、「Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist」、Abdruck aus den Abhandlungen der Kgl。 Akademie der Wissenschaften zu Berlin (ドイツ語)、著作集の第 1 巻に再録、699 ～ 839 ページ
• JSミルンの「類体理論」第2章は彼のウェブサイト[1]で閲覧可能。
• Neukirch, ユルゲン;シュミット、アレクサンダー。 Wingberg, Kay (2000)、数体のコホモロジー、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 323、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-66671-4、MR  1737196、Zbl  0948.11001
• ネーター、エミー(1933)、「Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper.」、Mathematische Annalen (ドイツ語)、108 (1): 411–419、doi :10.1007/BF01452845、ISSN  0025-5831、Zbl  0007.29501
• スネイス、ビクター P. (1994)、「ガロア加群構造」、フィールズ研究所モノグラフ、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0264-X、ZBL  0830.11042

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ヒルベルトの定理 90: David Hilbert、Gesammelte Abhandlungen、Erster Band