ヘンリー・ジョージの定理

以下の導出は、ジョセフ・スティグリッツの1977年の地域公共財理論で提示された経済モデルに基づいています。^{[ 2 ]}

小規模都市経済における資源制約は、次のように表すことができる。

${\displaystyle Y=f(N)=cN+G}$

どこ${\displaystyle Y}$出力です。${\displaystyle f(N)}$凹型の生産関数であり、${\displaystyle N}$労働力または人口の規模、${\displaystyle c}$は一人当たりの私的財の消費であり、${\displaystyle G}$これは、地方公共財に対する政府支出のことである。

このモデルにおける地代は、「リカードの地代恒等式」を用いて計算される。

${\displaystyle R=f(N)-f^{\prime }(N)N\;,}$

どこ${\displaystyle f^{\prime }(N)=dY/dN=}$労働者の限界生産性。

コミュニティプランナーは、一人当たりの私的財の消費量を最大化するNの規模を選択したいと考えている。

${\displaystyle c={\frac {f(N)-G}{N}}\;.}$

商の法則を用いて微分すると、次のようになる。

${\displaystyle {\frac {dc}{dN}}={\frac {Nf^{\prime }(N)-f(N)+G}{N^{2}}}=0}$

そこから一次条件を導き出す。

${\textstyle c=f^{\prime }(N)\;,}$

${\textstyle G=f(N)-f^{\プライム }(N)N\;,}$

${\textstyle N^{*}={\frac {f(N)\;-\;G}{f^{\prime }(N)}}\;.}$

GのFOCとリカードの地代恒等式を比較すると、次の等式が得られる。

${\displaystyle R=G\;.}$

以下の導出は、リチャード・アーノットとジョセフ・スティグリッツの論文「総地代、公共財への支出、最適な都市規模」で提示された都市経済モデルの簡略版に基づいています。 ^{[ 3 ]}

前提条件

• 円形の単中心都市。
• 全く同じ住人。
• 同一の技術。
• 均質な土地。
• ロットサイズは固定です。
• すべての土地は利用されている。
• 直線輸送コスト。
• 労働力こそが唯一の要因である。
• 生産は規模に関して収穫一定を示す。
• 都市部の物価を標準化したもの。
• 不純な公共財は存在しない
• 渋滞なし。

モデル

二次元円の形状を持つ単中心都市において、人口規模を次のように選択したい。${\displaystyle N}$一人当たりの私的財の消費${\displaystyle C}$純粋な公共財の提供${\displaystyle P}$一人当たりの効用を最大化する${\displaystyle U(C,P)}$ただし、リソースの制約がある。

${\displaystyle NY=NC+\int _{0}^{b}{\frac {1}{S}}(tx)2\pi x\,dx+P\;,}$

どこ：

${\displaystyle S=}$区画サイズ、または居住者一人当たりの土地消費量、

${\displaystyle t=}$単位距離あたりの輸送コスト、

${\displaystyle x=}$都市中心部からの距離、

${\displaystyle b=}$都市境界から都市中心部までの距離。

この制約は、生産物が私的財、輸送サービス、公共財に分配されることを示唆している。

総輸送コスト${\displaystyle ATC}$は${\displaystyle {\tfrac {1}{S}}(tx)2\pi x}$なぜなら${\displaystyle {\tfrac {1}{S}}2\pi x\,dx}$住民は細い環状の地域に住んでいる${\displaystyle 2\pi xdx}$そして支払う${\displaystyle tx}$労働力を供給するために都市中心部へ通勤するための費用。

以来${\displaystyle NS}$土地の単位が円状に消費される場合、都市半径は次のように求められます。

${\displaystyle b={\bigg (}{\frac {NS}{\pi }}{\bigg )}^{1/2}\;,}$

制約条件を評価すると、次の結果が得られます。

${\displaystyle NY=NC+{\frac {2t}{3}}{\bigg (}{\frac {S}{\pi }}{\bigg )}^{1/2}N^{3/2}+P\;.}$

させて${\displaystyle m={\tfrac {2t}{3}}\left({\tfrac {S}{\pi }}\right)^{1/2}}$混雑の外部性がない場合、比例定数となる。${\displaystyle \partial t/\partial N=0}$混雑/スプロール効果${\displaystyle \partial S/\partial N=0}$。

ラグランジアンを定式化する^{[ 11 ]}：

${\displaystyle {\mathcal {L}}=U(C,P)+\lambda {\bigg (}Y-C-mN^{1/2}-{\frac {P}{N}}{\bigg )}\;,}$

どこ${\displaystyle \lambda }$ラグランジュ乗数です。

一次条件（FOC）は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}N\;:\;\lambda {\bigg (}-{\frac {m}{2}}N^{1/2}+{\frac {P}{N^{2}}}{\bigg )}=0\;,\\&{}C\;:\;U_{c}-\lambda =0\;,\\&{}P\;:\;U_{p}-{\frac {\lambda }{N}}=0\;.\end{aligned}}}$

共同で、FOCは${\displaystyle C}$そして${\displaystyle P}$は、限界代替率の合計を述べるサムエルソン条件のバージョンです。${\displaystyle {\tfrac {U_{p}}{U_{c}}}\times N}$限界変換率（1）に等しい。

FOCに関して${\displaystyle N}$住民が一人増えることによる限界資源コスト（一人当たりの輸送コストの増加）は、公共財のコストをより多くの住民で分担することによる限界便益に等しいと述べている。

解決する${\displaystyle P}$与える：

${\displaystyle P={\frac {m}{2}}N^{3/2}={\frac {ATC}{2}}\;.}$

次に、効用最大化問題のより上位段階に移り、住民が家賃と交通費に基づいて居住地を選択する状況を見ていきましょう。

住民が予算制約を受けながら効用を最大化するために土地の消費を選択することを想像してください。関連する間接効用関数は^{[ 12 ]}です。

${\displaystyle V(x)=V{\big (}R(x),Y-tx{\big )}\;,}$

どこ${\displaystyle R(x)}$距離に応じた単位面積当たりの土地賃料は${\displaystyle x}$そして${\displaystyle Y-tx}$純利益です。

空間的均衡とは、各住民がどこにいても同レベルの効用を得られるよう、様々な変数が調整される状態を指す。

完全に差別化${\displaystyle V(x)}$設定${\displaystyle V'(x)=0}$与える：

${\displaystyle {\begin{aligned}V'(x)&{}=V_{1}R\,'(x)-V_{2}t=0\;,\\&{}\Rightarrow R\,'(x)={\frac {V_{2}}{V_{1}}}t\;.\end{aligned}}}$

ロイの正体によって：

${\displaystyle S=-{\frac {V_{1}}{V_{2}}}\;,}$

どこ${\displaystyle S=S{\big (}R(x),Y-tx){\big )}}$は距離におけるロットサイズのマーシャル需要関数 である${\displaystyle x}$これは距離に関して固定されていると仮定します。

したがって、家賃勾配（距離に応じて家賃が変化する割合）は単純に${\displaystyle R\,'(x)=-t/S}$これは、距離に応じて課される均衡地代を意味する。${\displaystyle x}$線形方程式を満たす：

${\displaystyle R(x)=R(b)+{\frac {t}{S}}(b-x)\;,}$

これは、都市中心部に近い場所に立地することで得られる輸送コストの削減効果が、賃料の上昇によって相殺され、結果として空間的な無差別性が確保されることを示している。

統合する${\displaystyle R(x)-R(b)}$都市の地域によって地代に差が生じる。

${\displaystyle {\begin{aligned}DLR\,&{}\equiv \,\int _{0}^{b}{\big [}R(x)-R(b){\big ]}2\pi x\,dx\;,\\&{}=\,{\frac {m}{2}}N^{3/2}\;.\end{aligned}}}$

式を比較すると${\displaystyle DLR}$そして${\displaystyle P}$ヘンリー・ジョージの定理を与える。

${\displaystyle DLR=P\;.}$