ヘリコイド

ヘリコイドは、螺旋面とも呼ばれ、3 次元空間に埋め込まれた滑らかな面です。これは、固定された回転軸に沿って回転および持ち上げられる無限の直線によって描かれる面です。これは、平面とカテノイドに続く3 番目の極小面として知られています。

これは、1774 年にオイラーによって、1776 年にジャン バティスト ミュニエによって記述されました。その名前は、らせんとの類似性に由来しています。らせん上のすべての点には、その点を通過するらせんがらせん内にあります。平面の範囲は負の無限大と正の無限大まで広がると考えられるため、よく観察すると、2 つの平行または鏡面の平面の外観が示されます。つまり、一方の平面の傾斜をトレースすると、共平面がバイパスまたはスキップされているように見えますが、実際には、共平面は反対の視点からもトレースされます。

ヘリコイドも線織面（および直円錐面）であり、直線の軌跡であることを意味する。あるいは、面上の任意の点には、その点を通過する線が面上に存在している。実際、カタランは1842年にヘリコイドと平面が唯一の線織極小面であることを証明した。^{[1] [2]}

ヘリコイドは微分幾何学の意味での 並進面でもあります。

ヘリコイドとカテノイドは、ヘリコイド-カテノイド極小面のファミリーの一部です。

らせんはアルキメデスのねじのような形をしていますが、あらゆる方向に無限に伸びています。これは、直交座標で次のパラメトリック方程式によって記述できます。

${\displaystyle x=\rho \cos(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle y=\rho \sin(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle z=\theta ,\ }$

ここで、ρとθ は負の無限大から正の無限大までの範囲で、 αは定数です。α が正の場合、図に示すように螺旋は右巻きになります。負の場合、左巻きになります。

ヘリコイドには主曲率 があります。これらの量の合計は平均曲率(ヘリコイドは極小面なのでゼロ) となり、積はガウス曲率となります。 ${\displaystyle \pm \alpha /(1+\alpha ^{2}\rho ^{2})\ }$

ヘリコイドは平面と同相です。これを確認するには、α を所定の値からゼロまで連続的に減少させます。αの各中間値は異なるヘリコイドを表し、α = 0に達してヘリコイドが垂直平面になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

逆に、平面上の線または軸を選択し、その軸を中心に平面を回転させること により、平面をらせん形状に変えることができます。

半径Rの螺旋が軸の周りを角度θで回転し、高さhだけ上昇する場合、その表面の面積は^{[3]で与えられる。}

${\displaystyle {\frac {\theta }{2}}\left[R{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}+c^{2}\ln \left({\frac {R+{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}}{c}}\right)\right],\ c={\frac {h}{\theta }}.}$

ヘリコイドとカテノイドは局所的に等長な面です。カテノイド#ヘリコイド変換を参照してください。

• 一般化ヘリコイド
• ディニの表面
• 右円錐
• 罫線面

ウィキメディア・コモンズには、ヘリコイドに関連するメディアがあります。

• 「ヘリコイド」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• WebGLベースのインタラクティブ3Dヘリコイド