ヒートカーネルシグネチャ

ヒートカーネル シグネチャ (HKS)は、変形可能な形状の解析で使用する特徴記述子であり、スペクトル形状解析法のグループに属します。形状内の各ポイントについて、HKS はポイントのローカルおよびグローバルな幾何学的特性を表す特徴ベクトルを定義します。用途には、セグメンテーション、分類、構造検出、形状マッチング、形状検索などがあります。

HKSは、2009年にJian Sun、Maks Ovsjanikov、 Leonidas Guibasによって導入されました。^{[1]これは、}熱方程式の基本解である熱核に基づいています。HKSは、形状に関連付けられたラプラス・ベルトラミ演算子に基づく、最近導入された多くの形状記述子の1つです。 ^[2]

形状分析は、 3Dオブジェクトなどの形状の自動デジタル分析の分野です。多くの形状分析タスク（形状のマッチング/検索など）では、形状の完全な3Dモデルを使用する代わりに、特定のキーポイントの特徴ベクトルが使用されます。このような特徴記述子の重要な要件は、特定の変換に対して不変であることです。剛体変換の場合、一般的に使用される特徴記述子には、形状コンテキスト、スピンイメージ、積分ボリューム記述子、マルチスケールローカルフィーチャなどがあります。 ^[2] HKSは、剛体変換を一般化する 等角変換を可能にします。

HKS は、表面上の熱拡散の概念に基づいています。表面上の初期の熱分布が与えられた場合、熱カーネルは、時間 後に からに伝達される熱量を関連付けます。熱カーネルは、等長変換に対して不変であり、等長変換に対する小さな摂動に対して安定しています。^[1]さらに、熱カーネルは、等長変換までの形状を完全に特徴付け、時間の経過とともに形状のグローバルな特性を表します。^{[3] は}時間領域上の 1 組の点に対して定義されているため、熱カーネルを特徴として直接使用すると、非常に複雑になります。代わりに、HKS は のみを考慮することで、時間領域のみに制限します。HKS は、特定の条件下で熱カーネルのほとんどの特性を引き継ぎます。^[1]${\displaystyle u_{0}(x)}$${\displaystyle h_{t}(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle h_{t}(x,y)}$${\displaystyle h_{t}(x,x)}$

コンパクトなリーマン多様体（境界を持つ場合もある） 上の熱拡散方程式は、次のように表される。 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \left(\Delta -{\frac {\partial }{\partial t}}\right)u(x,t)=0}$

ここで はラプラス・ベルトラミ演算子であり、 は時刻 における点の熱分布である。この式の解は次のように表される。^[1]${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle u(x,t)=\int h_{t}(x,y)u_{0}(y)dy.}$

熱核の固有分解は次のように表される。

${\displaystyle h_{t}(x,y)=\sum _{i=0}^{\infty }\exp(-\lambda _{i}t)\phi _{i}(x)\phi _{i}(y)}$

ここで、 と はそれぞれ の固有値と固有関数である。熱核は等長写像を除いて曲面を完全に特徴付ける。2つのリーマン多様体との間の任意の射影写像に対して、 が等長写像であれば が等長写像であり、その逆もまた同様である。^[1]簡潔な特徴記述子として、HKSは熱核を時間領域のみに制限し、 ${\displaystyle \lambda_{i}}$${\displaystyle \phi_{i}}$${\displaystyle i^{th}}$${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle T:M\rightarrow N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle h_{t}(x,y)=h_{t}(T(x),T(y))}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle h_{t}(x,x)=\sum _{i=0}^{\infty }\exp(-\lambda _{i}t)\phi _{i}^{2}(x).}$

HKSは熱核と同様に、およびの固有値が非重複であるという条件下で表面を特徴付ける。これらの項は、カットオフ周波数を決定するローパスフィルタのバンクとして直感的に理解できる。 ^[2]${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \exp(-\lambda _{i}t)}$${\displaystyle \lambda_{i}}$

は一般にノンパラメトリック連続関数であるため、HKS は実際には時刻 でサンプリングされた値の離散的なシーケンスとして表されます。 ${\displaystyle h_{t}(x,x)}$${\displaystyle \{h_{t_{1}}(x,x),\ldots ,h_{t_{n}}(x,x)\}}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$

ほとんどのアプリケーションでは、物体の基礎となる多様体は不明です。多様体のメッシュ表現が利用可能な場合は、熱方程式の離散近似と離散類似体を使用してHKSを計算できます。離散の場合、ラプラス-ベルトラミ演算子は疎行列であり、次のように記述できます。^[1]${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle L=A^{-1}W}$

ここで、は頂点 を共有するメッシュ内の三角形の面積に対応する要素を持つ正の対角行列であり、は対称半正定値重み付け行列です。は に分解できます。ここで、 は昇順に並べられたの固有値の対角行列であり、は対応する正規直交固有ベクトルを持つ行列です。離散熱核は、次によって与えられる行列です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A(i,i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle W}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L=\Phi \Lambda \Phi ^{T}A}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle K_{t}=\Phi \exp(-t\Lambda )\Phi ^{T}.}$

要素は、時間後の頂点と頂点間の熱拡散を表します。HKSは、離散時間間隔でサンプリングされたこの行列の対角要素によって与えられます。連続の場合と同様に、離散HKSはノイズに対して堅牢です。^[1]${\displaystyle k_{t}(i,j)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle t}$

HKS を使用して等長までの表面を特徴付ける主な特性は、表面の固有値が非反復である場合にのみ適用されます。この条件に違反する特定の表面 (特に対称性のある表面) があります。球は、そのような表面の簡単な例です。

HKSにおける時間パラメータは、グローバル情報のスケールと密接に関係している。しかし、時間離散化を直接選択する方法はない。既存の方法は、時間サンプルを対数的に選択するが、これは保証のないヒューリスティックである^[4]

離散熱核は、サイズ の行列の固有値分解を必要とします。ここで、 は多様体のメッシュ表現の頂点の数です。 固有値分解の計算は、特に が増加する場合は、コストのかかる操作です。 ただし、固有値に対する逆指数依存性のため、通常は少数の (100 未満の) 固有ベクトルで HKS の適切な近似値を得ることができます。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

HKS のパフォーマンス保証は、真に等角的な変換に対してのみ適用されます。ただし、実際の形状の変形は等角的ではないことがよくあります。このような変換の簡単な例としては、人が拳を握る動作が挙げられます。この動作では、2 本の指の間の測地線距離が変わります。

出典: ^[2]

リーマン多様体上の点における（連続）HKSは、スカラー曲率と次のように関係している。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle h_{t}(x,x)}$ ${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle h_{t}(x,x)={\frac {1}{4\pi t}}+{\frac {s(x)}{12\pi }}+O(t).}$

したがって、HKS はスケール におけるの曲率として解釈できます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

WKS ^[4]はHKSと同様の考え方に従っており、熱方程式をシュレーディンガー波動方程式に置き換えている。

${\displaystyle \left(i\Delta +{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\psi (x,t)=0}$

ここで、は複素波動関数である。ある点で粒子を測定する平均確率は、次のように与えられる。 ${\displaystyle \psi (x,t)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f^{2}(\lambda _{i})\phi _{i}^{2}(x)}$

ここで、 は初期エネルギー分布です。これらのエネルギー分布の族を固定することにより、WKS を離散シーケンス として取得できます。HKS とは異なり、WKS はバンドパス フィルターのセットとして直感的に理解でき、より優れた特徴の特定が可能になります。ただし、WKS は大規模な特徴を適切に表現しないため (フィルターで除去されるため)、形状マッチング アプリケーションではパフォーマンスが低下します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{i}(x)}$${\displaystyle \{p_{f_{1}}(x),\ldots ,p_{f_{n}}(x)\}}$

HKSと同様に、GPS ^[5]はラプラス・ベルトラミ演算子に基づいています。ある点におけるGPSは、ラプラス・ベルトラミ演算子のスケールされた固有関数のベクトルで、そのベクトルは、で計算されます。GPSはグローバルな特徴ですが、HKSのスケールは、熱拡散の時間パラメータを変えることで変えることができます。したがって、HKSは部分的な形状マッチングアプリケーションに使用できますが、GPSは使用できません。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

SGWS ^[6]はスペクトル記述子の一般形を提供し、フィルタ関数を指定することでHKSを得ることができます。SGWSは等尺性不変であるだけでなく、コンパクトで計算が容易で、バンドパスフィルタとローパスフィルタの両方の利点を兼ね備えたマルチ解像度のローカル記述子です。

HKS は複数のスケールで形状を表しますが、本質的にスケール不変ではありません。たとえば、形状の HKS とそのスケールされたバージョンは、事前正規化なしでは同じではありません。スケール不変性を保証する簡単な方法は、各形状を同じ表面積 (例: 1) になるように事前スケーリングすることです。上記の表記法を使用すると、これは次のことを意味します。

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\sum _{j}A_{j}\\A&=A/s\\\lambda _{i}&=s\lambda _{i}{\text{ for each }}i\\\phi _{i}&={\sqrt {s}}\phi _{i}{\text{ for each }}i\\\end{aligned}}}$

あるいは、スケール不変バージョンの HKS は、スケール空間表現を生成することによっても構築できます。^[7]スケール空間では、スケーリングされた形状の HKS は、乗法係数までの移動に対応します。この HKS のフーリエ変換は、時間移動を複素平面に変更し、変換の係数を考慮することで移動への依存性を排除できます。YouTube でのスケール不変 HKS のデモ。別のスケール不変 HKS は、で定義されているスケール不変メトリックを通じてその構築を解明することで確立できます。^[8]

HKS は、2D リーマン多様体として表される 3D 形状の境界面に対して定義されます。境界のみを考慮する代わりに、3D 形状のボリューム全体を考慮して、HKS のボリューム バージョンを定義することができます。^[9]ボリューム HKS は、通常の HKS と同様に、ボリューム全体 (3 サブ多様体として) の熱方程式を考慮し、形状の 2 多様体境界にノイマン境界条件を定義することで定義されます。ボリューム HKS は、ボリューム等長変換までの変換を特徴付けます。これは、境界等長変換よりも忠実に実際の 3D オブジェクトの変換を表します。^[9]

スケール不変の HKS 特徴は、形状検索アプリケーション用のbag-of-featuresモデルで使用できます。^[10]特徴は、形状を構築するための空間関係を考慮して幾何学的な単語を作成するために使用されます (特徴を単語として使用し、形状を文として使用するのと同様)。形状自体は、インデックス コレクションを形成するためにコンパクトなバイナリ コードを使用して表現されます。クエリ形状が与えられると、コードのハミング距離を近接度測定として使用して、インデックス内の類似の形状 (おそらく等長変換) を検索できます。