制御理論におけるH∞法

H _∞ (すなわち「 H無限大」)法は、制御理論において、性能が保証された安定化を実現するコントローラを合成するために使用されます。H ∞ 法を使用するには_{、制御設計者は制御問題を数学的最適化問題として表現し、この最適化を解くコントローラを見つけます。H ∞法}は、チャネル 間の相互結合を伴う多変数システムの問題に容易に適用できるという点で、古典的な制御手法よりも優れ_{ています。H ∞}法_{の欠点としては}、適用に高度な数学的理解が必要であること、および制御対象システムの適切なモデルが必要であることが挙げられます。結果として得られるコントローラは、規定されたコスト関数に関してのみ最適であり、整定時間、消費エネルギーなど、コントローラを評価するために通常使用される性能指標の観点から必ずしも最良のコントローラを表すとは限らないことに留意することが重要です。また、飽和などの非線形制約は、一般的にうまく処理されません。これらの手法は、1970年代後半から1980年代初頭にかけて、 George Zames（感度最小化） ^{[ 1 ]} 、 J. William Helton（広帯域マッチング） ^{[ 2 ]} 、 およびAllen Tannenbaum（ゲインマージン最適化） ^{[ 3 ]によって制御理論に導入されました。}

H _∞制御という表現は、最適化が行われる数学的空間の名前から来ています。H ∞_は、 Re( s ) > 0で定義される複素平面の右半開領域で解析的かつ有界な行列値関数のハーディ空間です。H ∞ノルムは、その空間上の行列の最大特異値です。スカラー値関数の場合、境界まで連続的に広がり、無限遠で連続なハーディ空間の要素は、ディスク代数です_。行列値関数の場合、ノルムは任意の方向および任意の周波数における最大ゲインとして解釈できます。SISOシステムの場合、これは実質的に周波数応答の最大振幅です。   

H∞技術は_、外乱が閉ループに与える影響を最小限に抑えるために使用できます。問題の定式化に応じて、影響は安定化または性能の観点から測定されます。堅牢な性能と堅牢な安定化を同時に最適化することは困難です。これに近い方法の1つがH∞_ループシェーピングです。これにより、制御設計者は古典的なループシェーピングの概念を多変数周波数応答に適用して良好な堅牢な性能を得ることができ、次にシステム帯域幅付近の応答を最適化して良好な堅牢な安定化を実現できます。

H∞制御器の合成をサポートする市販ソフトウェアが利用可能_です。

まず、プロセスは以下の標準構成に従って表現されなければなりません。

プラントPには、参照信号と外乱を含む外生入力wと操作変数uの 2 つの入力があります。出力は、最小化したい誤差信号zと、システムを制御するために使用する測定変数vの 2 つです。vはKで操作変数uを計算するために使用されます。これらはすべて一般にベクトルですが、PとKは行列であることに注意してください。

数式で表すと、システムは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle u=\mathbf {K} (s)\,v}$

したがって、 zとwの関係は次のように表すことができる。

${\displaystyle z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w}$

下位線形分数変換と呼ばれる、 ${\displaystyle F_{\ell }}$が定義されています（添え字は下位から来ています）：

${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}}$

したがって、${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$制御設計とは、コントローラを見つけることである。${\displaystyle \mathbf {K} }$そのため${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$は、${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$規範。同じ定義が以下に適用されます。${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$制御設計。伝達関数行列の無限大ノルム${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$は次のように定義されます。

${\displaystyle ||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ))}$

どこ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$は行列の最大特異値です${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )}$。

閉ループシステムの達成可能なH _{∞ノルムは、主に行列}D ₁₁によって与えられます(システムPが ( A , B ₁ , B ₂ , C ₁ , C ₂ , D _{11 ,} D ₁₂ , D ₂₂ , D ₂₁ )の形式で与えられている場合)。H ∞コントローラに到達する方法はいくつかあり_ます。

• 閉ループのYoula-Kuceraパラメータ化は、しばしば非常に高次のコントローラにつながる。
• リカッチ方程式に基づくアプローチでは、2つのリカッチ方程式を解いて制御器を求めますが、いくつかの簡略化のための仮定が必要となります。
• 最適化に基づくリッカチ方程式の再定式化では、線形行列不等式が用いられ、必要な仮定が少なくなる。

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