非可換ゲージ変換

理論物理学において、非可換ゲージ変換^[1]とは、ある群Gに値を取るゲージ変換であり、その群の要素は乗算しても交換法則に従わない。対照的に、電磁気学の物理学におけるゲージ群の元々の選択は、可換な U(1)であった。

非可換 リー群 Gの場合、その元は可換 ではない。つまり、一般に

${\displaystyle a*b=b*a\,}$。

四元数は数学における非可換構造の導入となった。

特に、無限小変換のベクトル空間（リー代数）の基底を形成するその生成元には、交換規則があります。 ${\displaystyle t^{a}}$

${\displaystyle \left[t^{a},t^{b}\right]=t^{a}t^{b}-t^{b}t^{a}=C^{abc}t_{c}.}$

構造定数は 可換性の欠如を定量化し、消えることはない。構造定数は最初の2つのインデックスで反対称であり、実数であることが分かる。正規化は通常、クロネッカーデルタを使用して次のように選択される。 ${\displaystyle C^{abc}}$

${\displaystyle Tr(t^{a}t^{b})={\frac {1}{2}}\delta ^{ab}.}$

この正規直交基底内では、構造定数は 3 つのインデックスすべてに関して反対称になります。

群の元は単位元の近くで次の形式で 表現できる。${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =exp(\theta ^{a}t^{a})}$、

ここで、変換のパラメータです。 ${\displaystyle \theta ^{a}}$

を与えられた表現で共変変換する体とする。これは、変換の下で次を得ることを意味する。 ${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle T(\omega )}$

${\displaystyle \varphi (x)\to \varphi '(x)=T(\omega )\varphi (x).}$

コンパクト群の任意の表現はユニタリ表現と同値なので、

${\displaystyle T(\omega )}$

一般性を失うことなくユニタリ行列になることができます。ラグランジアン は場と導関数のみに依存すると仮定します。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle \partial _{\mu }\varphi (x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}{\big (}\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x){\big )}.}$

グループ要素が時空座標から独立している場合（グローバル対称性）、変換されたフィールドの微分はフィールドの微分の変換と同等です。 ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \partial _{\mu }T(\omega )\varphi (x)=T(\omega )\partial _{\mu }\varphi (x).}$

したがって、体とその導関数は同じように変換されます。表現のユニタリー性により、、 またはなどのスカラー積は、非アーベル群のグローバル変換に対して不変です。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (\varphi ,\varphi )}$${\displaystyle (\partial _{\mu }\varphi ,\partial _{\mu }\varphi )}$${\displaystyle (\varphi ,\partial _{\mu }\varphi )}$

このようなスカラー積から構成されるラグランジアンは、全体的に不変です。

${\displaystyle {\mathcal {L}}{\big (}\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x){\big )}={\mathcal {L}}{\big (}T(\omega )\varphi (x),T(\omega )\partial _{\mu }\varphi (x){\big )}.}$