グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサン

グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサン（フランス語: [ ɡʁeɡwaʁ də sɛ̃ vɛ̃sɑ̃ ]、ラテン語: Gregorius a Sancto Vincentio、オランダ語: Gregorius van St-Vincent、1584年9月8日ブルージュ- 1667年6月5日ヘント）は、フランドル出身のイエズス会士で数学者。双曲線の求積法に関する研究で知られている。グレゴリオ・ア・サン・ヴィセンテとしても知られている。^{[ 1 ]}

グレゴワールは「幾何級数の和に関する最も明快な初期の説明」を与えた。^{[ 2 ]： 136}また、彼は関係する時間間隔が幾何級数を形成し、したがって有限の和を持つことを示すことで、ゼノンのパラドックスを解決した。^{[ 2 ]： 137}

グレゴワールは1584年9月8日にブルージュで生まれた。ドゥエーで哲学を学んだ後、 1​​605年10月21日にイエズス会に入会した。彼の才能はローマのクリストファー・クラヴィウスに認められた。グレゴワールは1612年にルーヴェンに派遣され、1613年3月23日に司祭に叙階された。グレゴワールは1617年から1620年までアントワープでフランソワ・ダギロンと共に教鞭を執り始めた。1621年にルーヴェンに移り、1625年までそこで数学を教えた。その年、彼は円積問題に没頭し、ムティオ・ヴィテレスキに自分の方法を発表する許可を求めた。しかし、ヴィテレスキはローマの数学者クリストフ・グリーエンベルガーに譲歩した。

1625年9月9日、グレゴワールはグリーエンベルガーと会談するためローマへ向かったが、成果は得られなかった。1627年にネーデルラントに戻り、翌年には皇帝フェルディナント2世の宮廷に仕えるためプラハへ派遣された。脳卒中を起こした後、プラハでテオドルス・モレトゥスの助けを受けた。1631年にザクセン軍がプラハを襲撃した際、グレゴワールはプラハを離れ、混乱の中で彼の写本の一部が失われた。残りの写本は1641年にロデリクス・デ・アリアガを通じて彼のもとに戻された。

1632年からグレゴワールはヘントの協会に住み、数学教師を務めた。^{[ 3 ]}

サンクト・ヴィンセンティオの数学的思考は、アントワープ滞在中に明確な発展を遂げた。彼は角の三等分問題と2つの比例中項の決定から出発し、無限級数、双曲線の対数性、極限、および関連する懈尽くし法を利用した。サンクト・ヴィンセンティオは後にこの最後の方法を、特に1621年から1624年にかけてルーヴェンで展開した理論「平面を平面に描く」に応用した。 ^{[ 3 ]： 64}

Opus Geometricumの貢献は

空間イメージを多用して多数の立体を生成し、それらの体積は直線図形の導線に応じて単一の構成に還元されるが、代数表記や積分計算がない状況では、体系的な幾何学的変換が重要な役割を果たした。^{[ 2 ]： 144}

例えば、「ウングラは、円形の底面の直径を通る斜面によって直円柱を切断することによって形成される」。また、「直角の軸を持つ円柱から形成される二重ウングラ」もある。 ^{[ 2 ]： 145}ウングラは、ブレーズ・パスカルが『Traité des trilignes rectangles et leurs onglets 』を執筆した際に、フランス語で「onglet」に変更された。^{[ 4 ] [ 2 ]： 147}

グレゴワールは1620年代に原稿を執筆したが、出版されたのは1647年になってからだった。その後、「ductus plani in planumという名称で展開された体積積分への体系的なアプローチ」により、大きな注目を集めた。^{[ 2 ]： 135}「同じ地線上に立つ2つの平面による立体の構成」はductus in planum法であり、 『Opus Geometricum』第7巻で展開されている。 ^{[ 2 ]： 139}

「平均比例の研究は、サン・ヴィセンテを彼の最大の発見の一つ、双曲線の対数的性質へと導いた。」^{[ 1 ]}双曲線の求積に関しては、「グレゴワールは、双曲線セグメントの面積と対数との関係を明示的に認めること以外は、あらゆることを成し遂げている。」^{[ 2 ] : 138}

この写本は、円積問題の解決を主張していたが、 1654年の著書『円積問題』でヴァンサン・レオトーを含む他の人々から批判された。^{[ 5 ]}

サン・ヴァンサンは、直角双曲線（つまり、${\displaystyle xy=k}$）は、${\displaystyle [a,b]}$終わりとして${\displaystyle [c,d]}$^[ 6 ^]​

$\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}.}$

この観察結果から双曲線対数が生まれた。この性質により、関数を定義することができる。${\displaystyle A(x)}$これは、前述の曲線の下の面積です。${\displaystyle 1}$に${\displaystyle x}$という性質を持つ${\displaystyle A(xy)=A(x)+A(y).}$この関数特性は対数を特徴づけるものであり、このような関数を「対数」と呼ぶのは数学的な慣習であった。${\displaystyle A(x)}$対数。特に、直角双曲線を選択した場合${\displaystyle xy=1}$すると、自然対数が回復する。

サン＝ヴァンサンの教え子であり同僚でもあったA.A.ド・サラサは、双曲線のこの面積特性が対数を表しており、乗算を加算に還元する手段であると指摘した。この特性は、スクイーズマッピングによる双曲線セクターの面積の不変性として観察できる。

1651 年、クリスティアン ホイヘンスは、サン ヴァンサンの研究に言及した『Quadratura Hyperboles、Ellipsis、et Circuli』の理論を出版しました。 ^{[ 7 ]}

双曲線の求積法は、1668年にジェームズ・グレゴリーによって『円と双曲線の真の求積法』^{[ 8 ]}でも取り上げられた。グレゴリーはサン＝ヴァンサンの求積法を認めつつも、一般的な円錐曲線の内接領域と外接領域の収束列を求積法として考案した。自然対数という用語は、同年ニコラウス・メルカトルによって『対数技術』で導入された。

サン＝ヴァンサンは1688年にマニャンとして「博識」と称賛された。「双曲線の漸近線で計算された距離と、双曲線上に立てられた垂線によって双曲線内に作られる空間が互いに等しいことを証明したのは、博識なヴァンサンまたはマニャンの偉大な業績であった。」 ^{[ 9 ]}

微積分学の歴史家は、当時、自然対数が面積関数として同化されていたことを指摘している。

グレゴリー・セント・ヴィンセントとド・サラサの研究の結果、双曲線の下の線分の面積は、1660年代には一般的に知られていたようです。${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$は、線分の両端の縦座標の比の対数に比例する。^{[ 10 ]}

• Opus geometryumquadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum (ラテン語)。アントワープ：ヤン・ファン・ムールスとヤコブ・ファン・ムールス。 1647年。
• Opus geometryum posthumum ad mesolabium perrationum proprietates novas proprietates (ラテン語)。ゲント：ボードイン・マニリウス。 1668年。

• ガブリエルの角笛（1643年）
• 対数の歴史

• カール・ボップ (1907) 「聖ヴィンセントオのグレゴリウスのケーゲルシュニット」、Abhandlungen zum Geschichte der mathematische Wissenschaft、XX Heft。
• Christiaan Huygens (1651) Examen de la Cyclométrie du três savant Grégoire de Saint-Vincent、Oeuvres Complètes、Tome XI、Internet Archiveからのリンク。
• David Eugene Smith (1923) 『数学の歴史』、Ginn & Co.、v.1、p.  425.
• Hans Wussing (2008) 6000 Jahre Mathematik: eine kulturgeschichtliche Zeitreise、S. 433、Springer、ISBN 9783540771920。

• グレゴリー・セント・ヴィンセントと彼の極座標。ジョセフ・F・マクドネル著『イエズス会の歴史、伝統、精神性』より、2022年11月24日にウェイバックマシンにアーカイブされました。
• オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドマンド・F.、「グレゴリウス・サン＝ヴィンセント」、マックチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学