グリーンの定理

ベクトル解析において、グリーンの定理は、単純閉曲線C の周りの線積分を平面領域D (曲面)上の二重積分と関連付けます。$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) Cで囲まれた。これはストークスの定理の 2 次元の特殊な場合である(表面は$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) 1 次元では、微積分学の基本定理に相当します。2 次元では、発散定理に相当します。

それは数学物理学者ジョージ・グリーンにちなんで名付けられた。

C を平面上の正の向きを持つ区分的に滑らかな単純閉曲線とし、D をCで囲まれた領域とする。LとM がDを含む開領域上で定義され、その領域で連続な偏導関数を持つ( x , y )の関数である場合、

$${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA}$$

ここで、 Cに沿った積分経路は反時計回りである。^{[ 1 ] [ 2 ]}

平面におけるグリーンの定理は、単純閉曲線に沿った線積分と、その曲線が囲む領域上の二重積分を関連付けるものである。この定理には2つの等価な形式がある。1つは循環形式であり、これはベクトル場の接線線積分を表す。${\displaystyle \mathbf {F} =(P,Q)}$正の向きを持つ単純な閉曲線の周り${\displaystyle C}$スカラー回転の二重積分に等しい${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}}$地域全体にわたって${\displaystyle D}$によって囲まれている${\displaystyle C}$; そして、フラックス（発散）形式は、法線積分が${\displaystyle \mathbf {F} }$その周り${\displaystyle C}$発散の二重積分に等しい${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$以上${\displaystyle D}$応用面では、循環形式は二次元循環流や回転流の計算に用いられ、フラックス形式は閉じた境界を横切る正味の流出量を測定する。グリーンの定理は、平面領域の面積と重心を求める実用的な境界積分公式も提供する。

以下は、単純化された領域Dに対する定理の半分の証明です。D はタイプ I 領域であり、C ₁とC _{3は垂直線 (長さがゼロの場合もある) で結ばれた曲線です。D}がタイプ II 領域であり、C ₂とC ₄が水平線 (長さがゼロの場合もある) で結ばれた曲線である場合についても、同様の証明が存在します。これら 2 つの部分を組み合わせると、タイプ III 領域 (タイプ I とタイプ II の両方に該当する領域として定義される) に対して定理が証明されます。一般の場合については、D をタイプ III 領域の集合に分解することで、この特殊な場合から導き出すことができます。

もしそれが証明できるならば

そして

が真であれば、領域 D に対してグリーンの定理が直ちに導かれる。タイプ I の領域に対しては ( 1 ) を、タイプ II の領域に対しては ( 2 ) を容易に証明できる。すると、タイプ III の領域に対してグリーンの定理が導かれる。

領域DはタイプI領域であり、右図のように特徴づけられると 仮定する。$${\displaystyle D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$$ ここで、g ₁とg _{2 は区間}[ a , b ]上の連続関数である。式 ( 1 )の二重積分を計算する。

_{次に、 （} 1 ）の線積分を計算します_。Cは、_C1 、 C2 、 C3 、 C4の₄つの曲線の和集合として書き直すことができます。

C ₁では、媒介変数方程式x = x、y = g ₁ ( x ) 、a ≤ x ≤ bを使用します。次に $${\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.}$$

C ₃では、次の媒介変数方程式を使用します: x = x、y = g ₂ ( x ) 、a ≤ x ≤ b。次に $${\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=\int _{b}^{a}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}$$

C ₃上の積分は、 Cが正の方向 (反時計回り) に向いているため、 bからaへの負の方向に進むので、負になります。C 2_とC ₄では、x は一定のままです。つまり、 $${\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0.}$$

したがって、

（３）と（４ ）を組み合わせると、タイプIの領域については（ １ ）が得られる。同じ終点を用いて同様の処理を行うと、タイプIIの領域については（２）が得られる。この２つを組み合わせると、タイプIIIの領域の結果が得られる。

私たちは以下のことを証明します。

以下の補題が必要であり、その証明は^{[ 3 ]に記載されている。}

これで定理を証明できる段階になった。

定理の証明。${\displaystyle \varepsilon }$は任意の正の実数とする。連続性により${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$そしてコンパクトさ${\displaystyle {\overline {R}}}$与えられた${\displaystyle \varepsilon >0}$存在する${\displaystyle 0<\delta <1}$2 つの点が${\displaystyle {\overline {R}}}$より小さい${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }$別々に、彼らのイメージは${\displaystyle A,B}$より小さい${\displaystyle \varepsilon }$別々に。${\displaystyle \delta }$前の補題で与えられた分解を考えます。 $${\displaystyle \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad +\sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy.}$$

置く${\displaystyle \varphi$ :=D_{1}B-D_{2}A} 。

各${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}}$曲線${\displaystyle \Gamma _{i}}$は正の向きの正方形であり、グリーンの公式が成り立つ。したがって $${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{R_{i}}\varphi =\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\,\varphi .}$$

境界領域のすべての地点は、${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }$から${\displaystyle \Gamma }$したがって、${\displaystyle K}$すべての国境地域の連合体である場合、${\displaystyle K\subset \Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )}$;したがって${\displaystyle c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}}$補題2より、 $${\displaystyle \int _{R}\varphi \,\,-\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\varphi =\int _{K}\varphi .}$$ これにより、 $${\displaystyle \left\vert \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert \leq M\delta (1+\pi {\sqrt {2}}\,\delta ){\text{ for some }}M>0.}$$

我々は選ぶこともできる${\displaystyle \delta }$したがって、最後の不等式の右辺は${\displaystyle <\varepsilon .}$

この証明の冒頭の記述は、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$国境地帯は最大で${\displaystyle \varepsilon }$。 我々は持っています $${\displaystyle \left\vert \sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\varepsilon \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}.}$$

補題1(iii)により、 $${\displaystyle \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}\leq \Lambda +(4\delta )\,4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)\leq 17\Lambda +16.}$$

これらを組み合わせると、最終的に $${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert <C\varepsilon ,}$$ 一部の人にとって${\displaystyle C>0}$これはすべての場合に当てはまるので${\displaystyle \varepsilon >0}$これで終わりです。

最後の定理の仮説は、グリーンの公式が成り立つ唯一の仮説ではない。もう一つの一般的な条件は以下のとおりである。

機能${\displaystyle A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }$は依然として連続であると仮定される。しかし、我々は、すべての点でフレシェ微分可能であることを要求している。${\displaystyle R}$これは、すべての方向微分が存在することを意味する。特に${\displaystyle D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2}$いつものように、${\displaystyle (e_{1},e_{2})}$は、${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$さらに、以下の機能が必要です。${\displaystyle D_{1}B-D_{2}A}$リーマン積分可能である${\displaystyle R}$。

このことから、可測ジョルダン曲線に対するコーシー積分定理が得られる。

定理。${\displaystyle \Gamma _{0},\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}}$正の方向に整流可能なジョルダン曲線${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$満足 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}\subset R_{0},&&{\text{if }}1\leq i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{if }}1\leq i,j\leq n{\text{ and }}i\neq j,\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle R_{i}}$は内部領域です${\displaystyle \Gamma _{i}}$。 させて $${\displaystyle D=R_{0}\setminus ({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}}_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}_{n}).}$$

仮定する${\displaystyle p:{\overline {D}}\to \mathbb {R} }$そして${\displaystyle q:{\overline {D}}\to \mathbb {R} }$は、制限が${\displaystyle D}$はフレシェ微分可能である。 $${\displaystyle (x,y)\longmapsto {\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)}$$ はリーマン積分可能である${\displaystyle D}$、 それから $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}}$$

グリーンの定理は、ケルビン・ストークスの定理の特殊な場合であり、${\displaystyle xy}$-飛行機。

2次元場を、z成分が常に0である3次元場に拡張することができます。ベクトル値関数をFと書きます。${\displaystyle \mathbf {F} =(L,M,0)}$グリーン定理の左辺から始めましょう。 $${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}$$

ケルビン・ストークスの定理： $${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}$$

表面${\displaystyle S}$平面上の領域です${\displaystyle D}$単位法線${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$（慣例として）両方の定理の「正の向き」の定義に合わせるために、z成分が正であると定義される。

積分内の式は次のようになる $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).}$$

こうしてグリーンの定理の右辺が得られる。 $${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}$$

グリーンの定理は、微分形式と外微分を用いて一般化されたストークスの定理から得られる直接的な結果でもある。 $${\displaystyle \oint _{C}L\,dx+M\,dy=\oint _{\partial D}\!\omega =\int _{D}d\omega =\int _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dy\wedge \,dx+{\frac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge \,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.}$$

2次元ベクトル場のみを考慮すると、グリーンの定理は発散定理の2次元版に相当する。

${\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,}$

どこ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$は2次元ベクトル場の発散である。${\displaystyle \mathbf {F} }$、 そして${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$は境界上の外向き単位法線ベクトルです。

これを確認するには、単位法線を考えてみましょう。${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$方程式の右辺。グリーンの定理では${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)}$は曲線に接線方向を指すベクトルであり、曲線Cは境界に沿って正の方向 (つまり反時計回り) の曲線です。外向き法線はこれの右に 90° を指すベクトルになります。選択肢の 1 つは、${\displaystyle (dy,-dx)}$このベクトルの長さは${\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$それで${\displaystyle (dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.}$

グリーン定理の左辺から始めましょう。 $${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(M,-L)\cdot (dy,-dx)=\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds.}$$ 2次元発散定理を適用すると${\displaystyle \mathbf {F} =(M,-L)}$すると、グリーンの定理の右辺が得られます。 $${\displaystyle \oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (M,-L)\right)\,dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}$$

グリーンの定理は線積分による面積計算に利用できる。^{[ 4 ]： 1087}平面領域の面積${\displaystyle D}$は$${\displaystyle A=\iint _{D}dA.}$$

選ぶ${\displaystyle L}$そして${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1}$面積は次のように表されます。$${\displaystyle A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy).}$$

面積の可能な公式${\displaystyle D}$^{[ 4 ]}を含む^{: 1087}$${\displaystyle A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\frac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy).}$$

ウィリアム・トムソン（ケルビン卿）はこの定理をジョージ・グリーンにちなんで命名した。グリーンは1828年の論文『電気と磁気の理論への数学的解析の応用に関するエッセイ』^{[ 5 ]}の中で同様の結果を述べていたが、トムソンが1845年に再発見するまでほとんど忘れ去られていた。^{[ 6 ]} 1846年、オーギュスタン＝ルイ・コーシーは論文を発表し、その最後から2番目の文としてグリーンの定理を述べた。^{[ 7 ]}この定理の証明は、1851年にベルンハルト・リーマンが博士論文の中で最終的に提示した。^{[ 8 ] [ 9 ] : 801–5}

• 面積計– 面積を測定するためのツール 
• 鏡像電荷法– 静電気学で用いられる手法で、一意性定理（グリーンの定理から導かれる）を利用する。
• 靴ひも公式― 単純多角形に対するグリーンの定理の特殊な場合
• ベンディクソン・デュラックの定理– グリーンの定理を適用することによって導かれる、二次元力学における定理

• マースデン、ジェロルド・E.、トロンバ、アンソニー（2012）。「第8章：ベクトル解析の積分定理」。ベクトル解析（第6 版）。ニューヨーク：WHフリーマン・アンド・カンパニー。ISBN 978-1-4292-1508-4。

• MathWorldに掲載されているグリーンの定理