グリーンのアイデンティティ

数学において、グリーン恒等式はベクトル解析において、体積と微分作用素が作用する領域の境界を関連付ける3 つの恒等式の集合である。これらは、グリーンの定理を発見した数学者ジョージ・グリーンにちなんで名付けられている。

この恒等式は、ベクトル場F = ψ ∇ φに適用される発散定理から、積の法則の拡張∇ ⋅ ( ψ X ) = ∇ ψ ⋅ X + ψ ∇⋅ Xを用いて導出されます。φとψを、ある領域U ⊂ R ^d上で定義されたスカラー関数とし、φは 2 回連続微分可能で、ψ は1 回連続微分可能であるとします。 上記の積の法則を用い、X = ∇ φとして、∇⋅( ψ ∇ φ )をU上で積分します。すると^[1] となり、 ∆ ≡ ∇ ²はラプラス演算子、∂ Uは領域Uの境界、nは面要素dSに対する外向きの単位法線、d S = n dS は向き付けられた面要素です。 $${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\Delta \varphi +\nabla \psi \cdot \nabla \varphi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \,\nabla \varphi \cdot d\mathbf {S} }$$

この定理は発散定理の特殊なケースであり、本質的には、 uとv をψとφの勾配で置き換えた部分積分の高次元版に相当します。

上記のグリーンの第一恒等式は、 発散定理からF = ψ Γを代入して得られるより一般的な恒等式の特別な場合であることに注意されたい。$${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\nabla \cdot \mathbf {\Gamma } +\mathbf {\Gamma } \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\mathbf {\Gamma } \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \mathbf {\Gamma } \cdot d\mathbf {S} ~.}$$

φとψ がU ⊂ R ³上で2回連続微分可能で、ε が1回連続微分可能である場合、 F = ψε ∇ φ − φε ∇ ψを選択して次式を得る ことができます。$${\displaystyle \int _{U}\left[\psi \,\nabla \cdot \left(\varepsilon \,\nabla \varphi \right)-\varphi \,\nabla \cdot \left(\varepsilon \,\nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\partial U}\varepsilon \left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.}$$

U ⊂ R ³全域でε = 1となる特別なケースでは、 $${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\nabla ^{2}\varphi -\varphi \,\nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.}$$

上記の式において、∂ φ /∂ n は、表面要素dSの外向き表面法線nの方向におけるφの方向微分であり、 $${\displaystyle {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }=\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }\varphi .}$$

この定義をε = 1のグリーンの第二恒等式に明示的に組み込むと、次のようになる。 $${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\nabla ^{2}\varphi -\varphi \,\nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi \nabla \varphi -\varphi \nabla \psi \right)\cdot d\mathbf {S} .}$$

特に、これはラプラシアンが境界上で消える関数のL ²内積における自己随伴演算子であり、上記の恒等式の右辺がゼロになることを示しています。

グリーンの3番目の恒等式は、2番目の恒等式からφ = G を選択することで導出されます。ここで、グリーン関数 Gはラプラス演算子∆の基本解とされます。これは次のことを意味します。 $${\displaystyle \Delta G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})=\delta (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }})~.}$$

例えば、R ³では、解は次の形式となる。 $${\displaystyle G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})={\frac {-1}{4\pi \|\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }}\|}}~.}$$

グリーンの第三恒等式は、ψ がU上で2回連続微分可能な関数である場合、 $${\displaystyle \int _{U}\left[G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})\,\Delta \psi (\mathbf {y} )\right]\,dV_{\mathbf {y} }-\psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\left[G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }(\mathbf {y} )-\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}) \over \partial \mathbf {n} }\right]\,dS_{\mathbf {y} }.}$$

ψ自体が調和関数、つまりラプラス方程式の解である場合、簡略化が起こります。その場合、∇ ² ψ = 0となり、恒等式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\left[\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}-G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\frac {\partial \psi }{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {y} )\right]\,dS_{\mathbf {y} }.}$$

上記の積分の2番目の項は、 GがUの境界で消えるグリーン関数（ディリクレ境界条件）として選択されると削除できます。 $${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}\,dS_{\mathbf {y} }~.}$$

この形式は、ディリクレ境界条件問題の解を構築するために使用されます。ノイマン境界条件問題の解も簡略化できますが、グリーン関数を定義する微分方程式に適用された発散定理は、グリーン関数が境界上でゼロに積分できず、したがって境界上で消えないことを示してます。ラプラシアンのグリーン関数を参照するか、代替案を含む詳細な議論については ^{[2]を参照してください。}

さらに、 ψ がヘルムホルツ方程式または波動方程式の解であり、G が適切なグリーン関数である場合にも、上記の恒等式が当てはまることが確認できます。このような状況では、この恒等式はホイヘンスの原理の数学的表現であり、キルヒホッフの回折式やその他の近似につながります。

グリーン恒等式はリーマン多様体上で成り立ちます。この設定では、最初の 2 つは次 のようになります。ここで、 uとv はM上の滑らかな実数値関数、dVは計量と互換性のある体積形式、はMの境界上の誘導体積形式、Nは境界に垂直な外向きの単位ベクトル場、Δ u = div(grad u )はラプラシアンです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{M}u\,\Delta v\,dV+\int _{M}\langle \nabla u,\nabla v\rangle \,dV&=\int _{\partial M}uNv\,d{\widetilde {V}}\\\int _{M}\left(u\,\Delta v-v\,\Delta u\right)\,dV&=\int _{\partial M}(uNv-vNu)\,d{\widetilde {V}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle d{\widetilde {V}}}$

グリーンの第二恒等式は、2つのスカラー関数の2次導関数と1次導関数（の発散）の関係を確立する。微分形式では、 p m_とq m_は2つの任意の2回連続微分可能なスカラー場である。この恒等式は物理学において非常に重要である。質量やエネルギーなどのスカラー場に対して連続方程式を確立できるからである。^[3]$${\displaystyle p_{m}\,\Delta q_{m}-q_{m}\,\Delta p_{m}=\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\,\nabla p_{m}\right),}$$

ベクトル回折理論では、グリーンの第 2 恒等式の 2 つのバージョンが導入されています。

一つの変種は、外積の発散^{[4] [5] [6]}を引用し、体の回転回転の観点から関係を述べる 。$${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {P} \right)=\nabla \cdot \left(\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)-\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)\right).}$$

この式はラプラシアンを使って次のように表すことができます。

$${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]=\nabla \cdot \left(\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right).}$$

しかし、その条件は、 発散の観点から簡単に記述することはできませんでした。 $${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right],}$$

もう一つのアプローチはバイベクトルを導入するが、この定式化には2項グリーン関数が必要である。^{[7] [8]}ここで提示した導出はこれらの問題を回避している。^[9]

グリーンの第2恒等式におけるスカラー場はベクトル場の直交座標成分であると考えると、 $${\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{m}p_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m},\qquad \mathbf {Q} =\sum _{m}q_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}.}$$

各成分の式を合計すると、 $${\displaystyle \sum _{m}\left[p_{m}\Delta q_{m}-q_{m}\Delta p_{m}\right]=\sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right).}$$

ドット積の定義によれば、左辺はベクトル形式で次のように表される。 $${\displaystyle \sum _{m}\left[p_{m}\,\Delta q_{m}-q_{m}\,\Delta p_{m}\right]=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} .}$$

RHS をベクトル演算子で表現するのは少し難しい。発散演算子の加算に対する分配性により、発散の合計は合計の発散に等しくなります。つまり、 $${\displaystyle \sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)=\nabla \cdot \left(\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}\right).}$$

ドット積の勾配のベクトル恒等式を思い出してください。 これはベクトル成分で書き表すと次のようになります。 $${\displaystyle \nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right),}$$

$${\displaystyle \nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\nabla \sum _{m}p_{m}q_{m}=\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}+\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}.}$$

この結果は、マイナス記号を除いてベクトル項で証明したいことと似ています。各項の微分演算子は、1つのベクトル（たとえば's）または他のベクトル（'s）のいずれかに作用するため、各項への寄与は ${\displaystyle p_{m}}$${\displaystyle q_{m}}$$${\displaystyle \sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right),}$$ $${\displaystyle \sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).}$$

これらの結果はベクトル成分の評価を通じて厳密に正しいことが証明できる。したがって、RHSはベクトル形式で次のように記述できる。

$${\displaystyle \sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).}$$

これら 2 つの結果をまとめると、スカラー場のグリーンの定理に類似した結果が得られます。
ベクトル場の定理: $${\displaystyle \color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\left[\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$$

外積の回転は次のように表さ れる。$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right);}$$

グリーンのベクトル恒等式は次のように書き直すことができる。 $${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)-\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$$

回転の発散はゼロなので、3番目の項は消えてグリーンベクトルの恒等式が得られます。 $${\displaystyle \color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$$

同様の手順で、ドット積のラプラシアンは因子のラプラシアンで表すことができる。 $${\displaystyle \Delta \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +2\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].}$$

結果として、厄介な項はベクトルグリーン方程式と比較することで発散の観点から記述できる。 $${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]-\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]=\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right].}$$

この結果は、スカラーとベクトルの発散を右辺に展開することで検証できます。

• グリーン関数
• キルヒホッフの積分定理
• ラグランジュの恒等式（境界値問題）

• 「グリーン公式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• [1] Wolfram MathWorldのグリーンの恒等式