ラグランジュの恒等式（境界値問題）

次の形式の 任意の2階常微分方程式：$${\displaystyle a(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b(x){\frac {dy}{dx}}+c(x)y+\lambda w(x)y=0,}$$ 次の形式で表すことができます: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dy}{dx}}\right)+\left(q(x)+\lambda w(x)\right)y(x)=0.}$$

この一般的な形式は、シュトゥルム・リウヴィル演算子Lの導入を促すものであり、これは関数fに対する演算として定義され、以下の条件を満たす。 $${\displaystyle Lf={\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {df}{dx}}\right)+q(x)f.}$$

様々な導関数が存在する任意のuとvに対して、常微分方程式のラグランジュの恒等式が成り立つことが示せる。 ^{[ 2 ]}$${\displaystyle uLv-vLu=-{\frac {d}{dx}}\left[p(x)\left(v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}\right)\right].}$$

区間 [0, 1] で定義された常微分方程式の場合、ラグランジュの恒等式を積分して積分形式 (グリーンの公式としても知られています) を得ることができます。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle \int _{0}^{1}dx\ (uLv-vLu)=\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right]_{0}^{1},}$$

どこ${\displaystyle p=P(x)}$、${\displaystyle q=Q(x)}$、${\displaystyle u=U(x)}$そして${\displaystyle v=V(x)}$関数${\displaystyle x}$。${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$区間上で連続な2階微分を持つ${\displaystyle [0,1]}$。

我々は持っています： $${\displaystyle uLv=u\left[{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dv}{dx}}\right)+q(x)v\right],}$$ そして $${\displaystyle vLu=v\left[{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {du}{dx}}\right)+q(x)u\right].}$$

引き算： $${\displaystyle uLv-vLu=u{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dv}{dx}}\right)-v{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {du}{dx}}\right).}$$

先頭の乗算されたuとv は微分の中に移動できます。なぜなら、 uとvの余分な微分項は、2 つの減算項で同じであり、単純に互いに打ち消し合うからです。したがって、 $${\displaystyle {\begin{aligned}uLv-vLu&={\frac {d}{dx}}\left(p(x)u{\frac {dv}{dx}}\right)-{\frac {d}{dx}}\left(vp(x){\frac {du}{dx}}\right),\\&={\frac {d}{dx}}\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right],\end{aligned}}}$$ これはラグランジュの恒等式です。ゼロからイチまで積分すると次のようになります。 $${\displaystyle \int _{0}^{1}dx\ (uLv-vLu)=\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right]_{0}^{1},}$$ これから示すことになるように。