重力結合エネルギー

システムの重力結合エネルギーとは、システムが重力 結合状態をやめるためにシステムに加えなければならない最小のエネルギーです。重力結合システムの重力位置エネルギーは、各部分が完全に分離しているときのエネルギーの合計よりも低く（つまり、より負に） 、これが最小総位置エネルギー原理に従ってシステムを集約したままにするものです。

重力結合エネルギーは、ニュートン重力理論と一般相対性理論と呼ばれるアルバート・アインシュタインの重力理論では概念的に異なる場合があります。ニュートン重力では、結合エネルギーはシステムの微視的コンポーネントのすべてのペア間の相互作用の線形和であると考えることができますが、一般相対性理論では、重力場がすべて弱い場合にのみこれは近似的に当てはまります。システム内に強力な場が存在する場合、結合エネルギーはシステム全体の非線形特性であり、システムの要素間で概念的に帰属させることはできません。この場合、結合エネルギーは、他の遠隔システムとの重力相互作用で明らかになるシステムのADM 質量と、分解された場合のシステムのすべての原子とその他の基本粒子のエネルギーの合計との (負の)差であると考えることができます。

均一な密度の球体の場合、ニュートン力学における重力結合エネルギーUは式^{[2] [3]} で与えられ、 ここでGは重力定数、Mは球体の質量、Rは球体の半径である。 $${\displaystyle U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}}$$

地球が均一な密度の球体であると仮定すると（実際はそうではないが、大きさの桁の推定には十分近い）、M =5.97 × 10 ²⁴  kgおよびr =6.37 × 10 ⁶  mの場合、U =2.24 × 10 ³²  J 。これは太陽の全エネルギー出力の1週間分にほぼ相当します。37.5 MJ/kg、地表における1キログラムあたりの位置エネルギーの絶対値の60%。

地震波伝播時間から推定される密度の実際の深さ依存性（アダムス・ウィリアムソン方程式を参照）は、予備的基準地球モデル（PREM）で与えられている。 ^[4]これを使用して、地球の実際の重力結合エネルギーはU =として数値的に計算できる。2.49 × 10 ³²  J .

ビリアル定理によれば、恒星の重力結合エネルギーは、静水力平衡を維持するために、内部熱エネルギーの約2倍である必要があります。 ^[2] 恒星内のガスがより相対論的になるにつれて、静水力平衡に必要な重力結合エネルギーはゼロに近づき、恒星は不安定になり（摂動に対して非常に敏感になります）、高質量の恒星の場合は強い放射圧のために超新星爆発を引き起こしたり、中性子星の場合はブラックホールを引き起こしたりする可能性があります。

半径 を持つ球の重力結合エネルギーは、球殻を最初に最も外側の球殻から順に無限遠まで動かして引き離すことを想像し、それに必要な総エネルギーを見つけることによって求められます。 ${\displaystyle R}$

密度が一定であると仮定すると、殻とその中の球の質量は次のようになります 。 ${\displaystyle \rho}$$${\displaystyle m_{\mathrm {shell} }=4\pi r^{2}\rho \,dr}$$$${\displaystyle m_{\mathrm {インテリア} }={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho }$$

シェルに必要なエネルギーは、重力による位置エネルギーの負数です。 $${\displaystyle dU=-G{\frac {m_{\mathrm {シェル} }m_{\mathrm {インテリア} }}{r}}}$$

すべてのシェルを積分すると次のようになります。 $${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {\left(4\pi r^{2}\rho \right)\left({\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\rho \right)}{r}}dr=-G{\frac {16}{3}}\pi ^{2}\rho ^{2}\int _{0}^{R}{r^{4}}dr=-G{\frac {16}{15}}{\pi }^{2}{\rho }^{2}R^{5}}$$

は、均一な密度を持つ物体の場合、単純に全体の質量をその体積で割った値に等しいので、 ${\displaystyle \rho}$

$${\displaystyle \rho ={\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}}$$

そして最後に、これを結果に当てはめると、 $${\displaystyle U=-G{\frac {16}{15}}\pi ^{2}R^{5}\left({\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\right)^{2}=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}}$$

互いに距離Rだけ離れ、互いに移動しない 2 つの物体は、Rが小さいときに、わずかに小さい 3 番目の物体に重力を及ぼします。これは、システムの負の質量成分として考えることができ、均一な球形の解の場合、次の値に等しくなります。 $${\displaystyle M_{\mathrm {binding} }=-{\frac {3GM^{2}}{5Rc^{2}}}}$$

例えば、地球が現在の大きさで重力で束縛された球体であるという事実は、 質量は2.494 21 × 10 ¹⁵  kg （フォボスの質量の約4分の1。ジュールでの同じ値は上記を参照）であり、原子が任意の大きな体積にわたってまばらであれば、地球の重さは現在の質量にプラス2.494 21 × 10 ¹⁵  kgキログラム（そして、第三の物体に対するその重力はそれに応じて強くなります）。

この負の成分がシステムの正の成分を超えることは決してないことは簡単に証明できます。負の結合エネルギーがシステム自体の質量より大きい場合、システムの半径は以下より小さくなる必要があります。 これはシュワルツシルト半径より 小さく、 したがって外部の観測者からは決して見えません。ただし、これはニュートンの近似値にすぎず、相対論的な条件では他の要因も考慮する必要があります。^[5]$${\displaystyle R\leq {\frac {3GM}{5c^{2}}}}$$${\textstyle {\frac {3}{10}}}$$${\displaystyle R\leq {\frac {3}{10}}r_{\mathrm {s} }}$$

惑星や恒星は、密度の低い表面から密度がはるかに高い圧縮された中心核まで、放射状の密度勾配を持っています。縮退物質の天体 (白色矮星、中性子星パルサー) には、放射状の密度勾配に加えて相対論的補正があります。

中性子星の相対論的状態方程式には、様々なモデルの半径と質量のグラフが含まれています。^[6]与えられた中性子星の質量に対する最も可能性の高い半径は、モデルAP4（最小半径）とMS2（最大半径）で囲まれています。BEは、半径Rの観測された中性子星の重力質量Mに相当する重力結合エネルギー質量の比です。 $${\displaystyle BE={\frac {0.60\,\beta }{1-{\frac {\beta }{2}}}}}$$ $${\displaystyle \beta ={\frac {GM}{Rc^{2}}}.}$$

現在の値を考えると

• ${\displaystyle G=6.6743\times 10^{-11}\,\mathrm {m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}} }$^[7]
• ${\displaystyle c^{2}=8.98755\times 10^{16}\,\mathrm {m^{2}\cdot s^{-2}} }$
• ${\displaystyle M_{\odot }=1.98844\times 10^{30}\,\mathrm {kg} }$

そして、恒星の質量Mは太陽の質量に対して表される。 $${\displaystyle M_{x}={\frac {M}{M_{\odot }}},}$$

すると、中性子星の相対論的分数結合エネルギーは

$${\displaystyle BE={\frac {885.975\,M_{x}}{R-738.313\,M_{x}}}}$$

• 応力エネルギーテンソル
• 応力・エネルギー・運動量擬テンソル
• ノルドヴェット効果