ゲルフォン・シュナイダー定理

数学において、ゲルフォン・シュナイダーの定理は、多数の数の超越性を確立します。

歴史

これはもともと1934年にアレクサンドル・ゲルフォン^[1]とテオドール・シュナイダーによって独立に証明されました。

aとb が有理数でない複素代数数である場合、a b^の任意の値は 超越数です。

\not \in \{0,1\}

aとbの値は実数に限定されず、複素数も許可されます (ここで、複素数は、実部と虚部の両方が有理数であっても、虚部が 0 でない場合は有理数とは見なされません)。
一般に、a ^b = exp( b log a )は多値であり、log は複素自然対数を表します。 (これは指数関数 exp の多値逆関数です。) これにより、定理の文にある「の任意の値」という語句が説明されます。
この定理の同等の定式化は次のようになります。α と γ が非ゼロの代数的数であり、αの非ゼロの任意の対数を取る場合、(log γ )/(log α )は有理数または超越数のいずれかになります。これは、 log α、log γ が有理数に対して線型独立である場合、それらは代数的数に対して線型独立であると言うことができます。このステートメントをいくつかの代数的数の対数のより一般的な線型形式に一般化することは、超越数論の領域にあります。
aとbが代数的であるという制約が取り除かれると、この命題は一般には真ではなくなる。例えば、

{\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.

ここで、a は√ 2 ^{√ 2}であり、これは（定理自体によって証明されているように）代数的ではなく超越的です。同様に、a = 3でb = (log 2)/(log 3)が超越的である場合、a ^b = 2は代数的です。超越的なa ^bを生み出すaとbの値の特性はわかっていません。

クルト・マーラーは、定理のp進類似物を証明しました。すなわち、 aとb がC _pに属し、Q _pの代数閉包が完備であり、それらがQ上で代数的であり、かつである場合、は有理数または超越数であり、ここで log _pはp 進対数関数です。 $|a-1|_{p$ $|b-1|_{p$ $(\log _{p}a)/(\log _{p}b)$

次の数の超越性は定理から直ちに導かれます。

ゲルフォン・シュナイダー定数とその平方根 $2^{\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.$
ゲルフォン定数 $e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots$
$i^{i}=\left(e^{\frac {i\pi }{2}}\right)^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0.207879576\ldots$

ゲルフォン・シュナイダーの定理はヒルベルトの第7問題に肯定的に答えます。

^ アレクサンドル・ゲルフォンド (1934)。「ヒルベルトのシュール・セプティエーム問題」。URSS 科学アカデミー紀要。数学などの科学クラス。VII (4): 623–634。

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