ガラーキン法

ヒルベルト空間上の弱形式として定式化された抽象的な問題を用いて、ガラーキン法を紹介しよう。${\displaystyle V}$すなわち、

探す${\displaystyle u\in V}$すべての${\displaystyle v\in V:a(u,v)=f(v)}$。

ここ、${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$双線形形式です（${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$（後ほど詳しく説明します）${\displaystyle f}$は有界線形汎関数である${\displaystyle V}$。

部分空間を選択する${\displaystyle V_{n}\subset V}$n次元の射影問題を解く：

探す$u_n ∈ V_n$すべての${\displaystyle v_{n}\in V_{n},a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})}$。

これをガラーキン方程式と呼びます。方程式は変わらず、空間だけが変わったことに注目してください。問題を有限次元ベクトル部分空間に縮小することで、数値的に計算することができます。$u_n$基底ベクトルの有限線形結合として${\displaystyle V_{n}}$。

ガラーキン法の重要な特性は、誤差が選択された部分空間に直交することである。 ${\displaystyle V_{n}\subset V}$我々は、${\displaystyle v_{n}}$元の式におけるテストベクトルとして。この2つを減算すると、誤差に対するガラーキン直交関係が得られます。${\displaystyle \epsilon _{n}=u-u_{n}}$これは、元の問題の解と、${\displaystyle u}$、そしてガラーキン方程式の解、$u_n$

${\displaystyle a(\epsilon _{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.}$

ガラーキン法の目的は線形方程式系を作成することであるため、アルゴリズム的に解を計算するために使用できる行列形式を構築します。

させて${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$基礎となる${\displaystyle V_{n}}$。次に、これらを順番に使用してガラーキン方程式をテストすれば十分です。つまり、$u_n ∈ V_n$そのため

${\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

拡大する$u_n$この根拠に関して、${\displaystyle u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$そしてそれを上記の式に代入すると、

${\displaystyle a\left(\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j},e_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

この前の式は実際には線形方程式系です${\displaystyle Au=f}$、 どこ

${\displaystyle A_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}$

以来${\displaystyle V_{n}\subset V}$双線形形式の有界性と楕円性は以下に適用されます。${\displaystyle V_{n}}$したがって、ガラーキン問題の適切性は、実際には元の問題の適切性から受け継がれている。

エラー$u-u_n$元の解とガラーキン解の間には推定値がある

$\|u-u_n\|\leq \frac C}{c\inf _{v_n\in V_n}}\|u-v_n\|.}$

これは、定数まで${\displaystyle C/c}$ガラーキン解$u_n$ 元の解に最も近い${\displaystyle u}$他のベクトルと同様に${\displaystyle V_{n}}$特に、空間による近似を研究すれば十分だろう。${\displaystyle V_{n}}$解こうとしている方程式のことを完全に忘れてしまう。

上記のセクションでは説明を簡潔にするため、双線形形式を仮定しました。${\displaystyle a(u,v)}$は対称かつ正定値であり、これはスカラー積であることを意味する。${\textstyle \|u\|_{a}={\sqrt {a(u,u)}}}$は実際には有効なベクトルノルムであり、エネルギーノルムと呼ばれます。これらの仮定の下では、ガラーキン法のエネルギーノルムにおける最良近似特性も容易に証明できます。

ガラーキンa直交性とエネルギーノルムに対するコーシー・シュワルツの不等式を用いると、

${\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}^{2}=a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq \|u-u_{n}\|_{a}\,\|u-v_{n}\|_{a}.}$

で割る${\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}}$そして、すべての可能な範囲で最小値を取る${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$ガラーキン近似が$u_n ∈ V_n$は部分空間内のエネルギーノルムにおける最良の近似値である${\displaystyle V_{n}\subset V}$つまり$u_n ∈ V_n$は、スカラー積に関して直交しているにすぎない。${\displaystyle a(u,v)}$解の投影${\displaystyle u}$部分空間へ${\displaystyle V_{n}}$。