G2構造

微分幾何学 において、-構造は滑らかな多様体上で定義できる重要なタイプのG 構造です。Mが7 次元の滑らかな多様体である場合、G _{2 -構造は、} Mのフレームバンドルの構造群をコンパクトな例外リー群G ₂に縮小したものです。 ${\displaystyle G_{2}}$

7 次元多様体上の構造の存在は、次のいずれかの条件に相当します。 ${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle M}$

• Mの第一および第二のStiefel–Whitney クラスは消滅します。
• M は配向可能であり、スピン構造を許容します。

したがって、ホロノミーのコンパクト 7 次元多様体には有限基本群とゼロでない第一ポンチャギン類も必要なので、 -構造の存在は ホロノミーの計量の存在よりもはるかに弱いということになります。 ${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$

特定のリーマン 7 次元多様体、つまりホロノミー多様体が存在する可能性があるという事実は、1955 年にマルセル ベルガーが可能なリーマン ホロノミー群を分類したときに初めて示唆されました。このとき、例がまったくない状態で作業していましたが、エドモンド ボナンは1966 年にさらに前進し、ホロノミー多様体が必然的に持つ特性を調査しました。特に、そのような多様体は平行 3 次元形式と平行 4 次元形式を持ち、その多様体は必然的にリッチ平坦であることを示しました。^[1]しかし、 1984年にロバート・ブライアントが そのような計量の局所存在定理を証明するまで、そのような計量が実際に存在するかどうかは不明のままでした。ホロノミーを持つ最初の完全な（ただしコンパクトではない）7次元多様体は、1989年にブライアントとサイモン・サラモンによって構築されました。 ^[2]ホロノミーを持つ最初のコンパクトな7次元多様体は、1994年にドミニク・ジョイスによって構築され、コンパクト多様体は、特に物理学の文献では「ジョイス多様体」と呼ばれることがあります。 [3] 2013年に、M.フィラット・アリカン、ヒョンジュ・チョ、セマ・サルールによって、スピン構造、つまり-^構造を持つ任意の多様体は、互換性のあるほぼ接触計量構造を許容し、-構造を持つ多様体に対して明示的に互換性のあるほぼ接触構造が構築されることが示されました。^{[4]同じ論文では、特定のクラスの}-多様体が接触構造を許容することが示されました。 ${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$

-多様体であるという性質は、 -構造を許容する性質よりもはるかに強い。実際、 -多様体であるということは、ねじれのない-構造を許容することと同等である。 ${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$

「G 構造」と「 -構造」という語句に出てくる文字「G」は、異なるものを指します。前者の場合、G 構造は、任意のリー群が通常文字「G」で示されることからその名前が付けられています。一方、「」の文字「G」は、そのリー代数がエリー・カルタンによる複素単純リー代数の分類で 7 番目のタイプ (「G」はアルファベットの 7 番目の文字) であるという事実に由来しています。 ${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$

• G ₂、G ₂多様体、スピン(7)多様体

• ブライアント、RL (1987)、「例外的なホロノミーを持つ計量法」、Annals of Mathematics、126 (2): 525–576、doi :10.2307/1971360、JSTOR  1971360。