4つの4

4 つの 4 は数学パズルです。その目的は、一般的な数学記号と数字の4のみを使用して、0 から最大値までのすべての整数の最も簡単な数式を見つけることです。他の数字は使用できません。パズルのほとんどのバージョンでは、各式に 4 つの 4 が含まれている必要がありますが、いくつかのバリエーションでは、各式に4 の最小数が含まれている必要があります。このパズルには、スキルと数学的推論が必要です。

4つの4という特定の問題が初めて印刷されたのは、1881年の『 Knowledge: An Illustrated Magazine of Science』^{です。 [1]} 4つの同じ数字を特定の量に並べる同様の問題は、トーマス・ディルワースの1734年の人気のある教科書『The Schoolmaster's Assistant, Being a Compendium of Arithmetic Both Practical and Theoretical』に掲載されています。^[2]

WW ラウズ・ボールは、数学レクリエーションとエッセイの第6版（1914年）でこれを説明しました。この本では、これは「伝統的なレクリエーション」として説明されています。^[3]

4 つの 4 にはさまざまなバリエーションがありますが、主な違いは使用できる数学記号です。基本的にすべてのバリエーションで、少なくとも加算("+")、減算("−") 、乗算( "×")、除算("÷")、括弧、連結(例: "44" は使用できます) を使用できます。また、ほとんどのバリエーションでは、階乗("!")、累乗(例: "44 ⁴ ")、小数点(".")、平方根("√") も使用できます。一部のバリエーションで使用できるその他の演算には、逆数関数("1/x")、サブ階乗(数字の前に "!" を付けます。!4 は 9 に等しい)、オーバーライン(無限に繰り返される数字)、任意のルート、平方関数("sqr")、立方関数("cube")、立方根、ガンマ関数(Γ()、ただし Γ( x ) = ( x − 1)!))、パーセント("%") などがあります。したがって、

${\displaystyle 4\%=0.04}$

${\displaystyle sqr(4)=16}$

${\displaystyle cube(4)=64}$

${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$

${\displaystyle 4!=24}$

${\displaystyle \Gamma (4)=6}$

${\displaystyle !4=9}$

${\displaystyle 4'={\frac {1}{4}}=0.25}$

${\displaystyle .4=0.4={\frac {4}{10}}={\frac {2}{5}}}$

${\displaystyle 4.4=4{\frac {2}{5}}}$

${\displaystyle .{\overline {4}}=.4444...={\frac {4}{9}}}$

等

この問題におけるオーバーラインの一般的な使用法は次の値です。

${\displaystyle .{\overline {4}}=.4444...={\frac {4}{9}}}$

通常、後続関数は、4 を超える任意の整数に簡単に到達できるため、許可されません。同様に、「log」演算子は、一般的な方法で任意の非負整数を生成できるため、通常許可されません。これは、次の 3 つの点に注意することで機能します。

1. 追加の4を使用せずに繰り返し平方根を取ることは可能です
2. 平方根は指数(^(1/2))として表記されることもできる。
3. 指数の逆数は対数です。

${\displaystyle \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}=4^{(1/2)^{n}}}$

繰り返し平方根をこの形式で書くと、平方根の数である n を分離できます。

${\displaystyle 4^{(1/2)^{n}}}$

4 を底とする対数を使用すると、両方の指数を分離できます。

${\displaystyle \log _{4}4^{(1/2)^{n}}}$

この対数は、「4 の何乗で 4 の半分の n 乗になるか」という質問に対する答えと考えることができます。

${\displaystyle 4^{x}=4^{(1/2)^{n}}}$

つまり、残っているのは次のようになります。

${\displaystyle (1/2)^{n}}$

そして対数をとって指数nを分離することができます。

${\displaystyle n=\log _{(1/2)}(1/2)^{n}}$

すべてをまとめると次のようになります。

${\displaystyle n=\log _{(1/2)}\log _{4}4^{(1/2)^{n}}}$

ここで、底 (1/2) を 4 のみで書き直し、指数 (1/2) を平方根に戻すことができます。

${\displaystyle n=\log _{{\sqrt {4}}/4}\log _{4}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}}$

4 つの 4 を使用したので、追加する平方根の数は、必要な負でない整数に等しくなります。

ポール・バークは、自然対数 (ln(n)) を使用して任意の正の整数nを表す 4 つの 4 を解く方法について、ベン・ルディアック・グールドの別の説明を次のように評価しています。

${\displaystyle n=-{\sqrt {4}}{\frac {\ln \left[\left(\ln \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}\right)/\ln 4\right]}{\ln {4}}}}$

追加のバリアント (通常は「4 つの 4」とは呼ばれません) では、数字のセット (「4、4、4、4」) を、たとえば誰かの誕生年などの他の数字のセットに置き換えます。たとえば、「1975」を使用するバリアントでは、各式で 1 ​​つ、9 つ、7 つ、5 つを 1 つ使用する必要があります。

ここに、一般的な規則を使用した、0 から 32 までの数字に対する 4 つの 4 の解のセットを示します。 実際には、正しい解はもっとたくさんありますが、いくつかの代替解がここにリストされています。 青色のエントリは、4 つの整数 4 (4 つの数字 4 ではなく) と基本的な算術演算を使用するものです。 青色のエントリがない数字には、これらの制約の下では解がありません。 また、演算子を繰り返す解は、イタリック体でマークされています。

0   =   4 ÷ 4 × 4 − 4   =    44 − 44
 1   =   4 ÷ 4 + 4 − 4   =    44 ÷ 44
 2   =   4 −(4 + 4)÷ 4   =   (44 + 4)÷ 4!
 3   =  (4 × 4 − 4)÷ 4   =   (4 + 4 + 4)÷ 4 
 4   =   4 + 4 ×(4 − 4)  =   −44 + 4!+ 4!
 5   =  (4 × 4 + 4)÷ 4   =   (44 − 4!)÷ 4
 6   =  (4 + 4)÷ 4 + 4   =    4.4 + 4 ×.4
 7   =   4 + 4 − 4 ÷ 4   =    44 ÷ 4 − 4
 8   =   4 ÷ 4 × 4 + 4   =    4.4 −.4 + 4
 9   =   4 ÷ 4 + 4 + 4   =    44 ÷ 4 −√4
10   = (4 + 4 + 4)−√4   =   (44 − 4)÷ 4
11   = (4!×√4 − 4)÷ 4   =   √4 ×(4! −√4)÷ 4
12   =   4 ×(4 − 4 ÷ 4)  =   (44 + 4)÷ 4
13   = (4!×√4 + 4)÷ 4   =   (4 −.4)÷.4 + 4
14   =   4 × 4 − 4 ÷√4   =    4 ×(√4 +√4) −√4
15   =   4 × 4 − 4 ÷ 4   =    44 ÷ 4 + 4
16   =   4 × 4 + 4 − 4   =   (44 − 4)×.4
17   =   4 × 4 + 4 ÷ 4   =   (44 + 4!)÷ 4
18   =   4 × 4 + 4 −√4   =   (44 ÷√4) − 4
19   =   4!−(4 + 4 ÷ 4) =   (4 + 4 −.4)÷.4
20   =   4 ×(4 ÷ 4 + 4)  =   (44 − 4)÷√4
21   =   4!− 4 + 4 ÷ 4   =   (44 −√4)÷√4
22   =   4!÷ 4 + 4 × 4   =    44 ÷(4 −√4)
23   =   4!+ 4 ÷ 4 −√4   =   (44 +√4)÷√4
24   =   4 × 4 + 4 + 4   =   (44 + 4)÷√4
25   =   4!− 4 ÷ 4 +√4   =   (4 + 4 +√4)÷.4
26   =   4!+√4 + 4 - 4
27   =   4!+√4 +(4 ÷ 4)
28   =  (4 + 4)× 4 − 4   =    4!+ 4 + 4 - 4
29   =   4!+ 4 +(4 ÷ 4)
30   =   4!+ 4 + 4 -√4
31   =   4!+(4!+ 4)÷4
32   =   4 × 4 + 4 × 4

1 未満の数値は通常、先頭に 0 を付けて表記されないことに注意してください。たとえば、「0.4」は通常「.4」と表記されます。これは、「0」が数字であり、このパズルでは数字「4」しか使用できないためです。

これらすべての答えを見つける方法は他にもたくさんあります。与えられた数には通常、いくつかの可能な解決策があります。ルールを満たす解決策であればどれでも受け入れられます。いくつかのバリエーションでは、「最も少ない」操作数を好むものや、ある操作を他の操作よりも好むものがあります。また、単に「興味深い」解決策、つまり目標に到達するための意外な方法を好むものもあります。

113、157、347 などの特定の数は、一般的なルールでは特に解くのが難しいです。113 について、Wheeler は と提案しています。^[4] 非標準的な解は であり、4' は4 の逆数です。 (つまり) もう 1 つの可能な解は であり、ここでと はそれぞれ14 番目と 127 番目の多因数を表し、問題のルールに従うには技術的にはその数の感嘆符で表す必要があります。113/16 という数は 3 つの 4 で表すことができますが、平方関数 (つまりsq (4) = 16) が許可されていない 限り、113 には役立ちません。${\displaystyle \Gamma (\Gamma (4))-{\frac {4!+4}{4}}}$${\displaystyle 4(4!+4+4')}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$${\displaystyle {\frac {((4!)!_{14})!_{127}}{(4!)!_{14}}}}$${\displaystyle !_{14}}$${\displaystyle !_{127}}$

パーセント(「%」)を使用すると、はるかに多くの割合の数値の解が許容されます。たとえば、113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)% です。

この問題とその一般化 (以下に示す 5 つの 5 と 6 つの 6 の問題など) は、単純なアルゴリズムで解決できます。基本的な要素は、有理数を文字列にマッピングするハッシュ テーブルです。これらのテーブルでは、キーは、演算子と選択された数字dの許容される組み合わせ(たとえば 4) によって表される数値であり、値は実際の式を含む文字列です。dの出現回数nごとに 1 つのテーブルがあります。たとえば、d=4の場合、 dが 2 回出現した場合のハッシュ テーブルには、キーと値のペア8と4+4が含まれ、3 回出現した場合のハッシュ テーブルには、キーと値のペア2と(4+4)/4 が含まれます(文字列は太字で表示)。

すると、タスクはn=1から始まり、例えばn=4までn を増やしながら、これらのハッシュ テーブルを再帰的に計算するだけになります。n =1とn=2のテーブルは特別なもので、他のより小さな式の組み合わせではないプリミティブ エントリが含まれているため、次のように適切に初期化する必要があります ( n=1の場合)。

       T[4] := "4";
       T[4/10] := ".4";
       T[4/9] := ".4...";

そして

        T[44]:="44";。

( n=2 の場合)。ここで、新しいエントリが発生する方法は 2 つあります。バイナリ演算子を使用して既存のエントリを組み合わせるか、階乗演算子または平方根演算子を適用するかです (この場合はdの追加インスタンスは使用されません)。最初のケースは、合計n個のdインスタンスを使用する部分式のペアすべてに対して反復処理することで処理されます。たとえば、n=4の場合、ペア(a,b)でaに 1 つのdインスタンスとb が3 つ含まれ、aに 2 つのdインスタンスとb が2 つ含まれるかどうかを確認します。次に、 n= 4の場合、括弧を含めてハッシュ テーブルにa+b、ab、ba、a*b、a/b、b/a)を入力します。ここで、 aとbを含むセットAとB は、 n=1とn=2 を基本ケースとして再帰的に計算されます。メモ化は、すべてのハッシュ テーブルが 1 回のみ計算されるようにするために使用されます。

2 番目のケース (階乗と累乗根) は、値vが記録されるたびに呼び出される補助関数の助けを借りて処理されます。この関数は、有理数に制限された最大深度までのvのネストされた階乗と累乗根を計算します。

アルゴリズムの最後のフェーズは、テーブルのキーを反復処理してnの目的の値を探し、整数のキーを抽出してソートすることです。このアルゴリズムは、以下に示す 5 つの 5 と 6 つの 6 の例を計算するために使用されました。キーが複数回出現するたびに、よりコンパクトな式 (対応する値の文字数という意味で) が選択されました。

このセクションと次のセクションは (http://groups.google.com/group/es.ciencia.matematicas/browse_thread/thread/fe6327c55ca865df/e9e694e07265091b#e9e694e07265091b Riedel, Marko.) からの引用です。

139 = (5+5/5)!/5-5
140 = .5*(5+5*55)
141 = 5!+(5+5.5)/.5
142 = 5!+55/5/.5
143 = ((5+5/5)!-5)/5
144 = ((55/5)-5)!/5
145 = 5*(5+5*5)-5
146 = 5!+(5/5)+(5*5))
147 = 5!+.5*55-.5
148 = 5!+.5*55+.5
149 = 5+(((5+(5/5)))!+5)

下の表では、表記 .6... は値 6/9 または 2/3 (循環小数点6) を表します。

241 = ((.6+((6+6)*(6+6)))/.6)
242 = ((6*(6+(6*6)))-(6/.6))
243 = (6+((6*(.6*66))-.6))
244 = (.6...*(6+(6*(66-6))))
245 = ((((6)!+((6)!+66))/6)-6)
246 = (66+(6*((6*6)-6)))
247 = (66+((6+((6)!/.6...))/6))
248 = (6*(6+(6*(6-(.6.../6))))
249 = (.6+(6*(6+((6*6)-.6))))
250 = (((6*(6*6))-66)/.6)
251 = ((6*(6+(6*6)))-(6/6))

• クリプト（ゲーム）

• バーク、ポール。「4 つの 4 の問題」。
• カーバー、ルース。「4つの4のパズル」。MathForum.orgで
• 「4444 (Four Fours)」。2011年8月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年6月4日閲覧。アイゲートギャラリー。
• 4つの4
• GitHubの four4s
• 「Four Fours ゲームのオンライン実装」。