心電図学の今後の課題

心電図学の前進課題は、体表面を通して心臓の電気的活動を研究するための計算的かつ数学的なアプローチである。 ^[1]この研究の主な目的は、虚血や心筋梗塞などの心臓病を特定したり、医薬品の介入をテストしたりするために重要な臨床的関連性を持つ心電図（ECG）を計算的に再現することです。その重要な機能と比較的小さい侵襲性を考えると、心電図検査技術は臨床診断テストとして非常に頻繁に使用されています。したがって、体内の心臓の行動を数学的にモデル化することを意味する心電図を計算的に再現することに進むのは自然なことです。^[1]

ECG のフォワード モデルの 3 つの主要部分は次のとおりです。

• 心臓の電気活動のモデル。
• 心臓外領域を表す胴体内の電位の拡散モデル。
• いくつかの特定の心臓と胴体の結合状態。^[2]

したがって、心電図を得るためには、数学的な心臓の電気モデルと、胴体内の電気伝播を記述する受動導体内の拡散モデルを考慮する必要がある。^[1]

結合モデルは通常、偏微分方程式で表される3 次元モデルです。このようなモデルは、通常、解の空間展開については有限要素法、解の時間展開については有限差分を含む半暗黙的数値スキームによって解かれます。しかし、このような手法、特に 3 次元シミュレーションの計算コストは​​非常に高くなります。そのため、たとえば心臓の電気活動を胴体の問題とは独立して解くような単純化されたモデルがしばしば検討されます。現実的な結果を得るには、心臓と胴体の 3 次元の解剖学的に現実的なモデルを使用する必要があります。^[1]

もう一つの可能​​な単純化は、3つの常微分方程式からなる動的モデルである。^[3]

心臓の電気的活動は、細胞膜を横切るイオンの流れ、つまり細胞内と細胞外の空間によって引き起こされ、それが心筋に沿った興奮波を決定し、それが心臓の収縮を調整し、心臓のポンプ作用によって血液を循環器系に送り出すことを可能にする。したがって、心臓の電気的活動のモデル化は、微視的レベルでのイオンの流れのモデル化と、巨視的レベルでの筋繊維に沿った興奮波の伝播のモデル化に関連している。^{[1] [4]}

マクロレベルの数学モデルでは、ウィレム・アイントーフェンとアウグストゥス・ワラーが、固定点の周りを回転する双極子の概念モデルを通じて心電図を定義し、その誘導軸への投影によって誘導記録が決定されました。その後、アイントーフェンの四肢誘導I、II、IIIを理論的根拠として、前額面における心臓活動の2次元再構成が可能になりました。^[5] その後、回転する心臓双極子は不十分であると考えられ、胴体の境界領域内を移動する多極源に置き換えられました。これらの源を定量化するために使用される方法の主な欠点は詳細が不足していることですが、心臓現象を現実的にシミュレートするためには非常に重要です。^[4]

一方、ミクロモデルは単一細胞の挙動を表現し、それらの電気的特性を考慮してそれらを接続しようとします。^{[6] [7] [8]}これらのモデルは、特に再突入や体表面電位などの大規模な現象の場合、細胞の集合的な挙動が個々の細胞の挙動よりも重要であることを考慮すると、捉える必要のあるさまざまなスケールに関連するいくつかの課題を提示します。^[4]

心臓の電気活動をモデル化する3番目の選択肢は、いわゆる「ミドルアウトアプローチ」を検討することである。このアプローチでは、モデルに低レベルの詳細と高レベルの詳細の両方が組み込まれる。このオプションでは、連続体セルと呼ばれるセルブロックの動作を考慮するため、スケールと詳細の問題を回避できる。得られたモデルはバイドメインモデルと呼ばれ、多くの場合、その簡略化であるモノドメインモデルに置き換えられる。^[4]

二領域モデルの基本的な仮定は、心臓組織が2つの抵抗伝導性連続媒体に分割され、細胞膜を介して接続されながらも分離されているというものである。この媒体は細胞内領域と細胞外領域と呼ばれ、前者は細胞組織を表し、後者は細胞間の空間を表す。^{[2] [1]}

イオン電流の動的モデルを含むバイドメインモデルの標準的な定式化は、次のとおりです^[2]。 ここで、およびはそれぞれ膜電位と細胞外電位、 はイオン電流で、これはいわゆるゲーティング変数（細胞レベルのイオン挙動を考慮）にも依存します。はドメインに適用される外部電流です。さらに、およびは細胞内および細胞外の伝導テンソル、は細胞膜の表面積と体積の比、は単位面積あたりの膜容量です。ここで、ドメインは心筋を表しています。^[2]$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\{\frac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\end{cases}}}$$${\displaystyle V_{m}}$${\displaystyle u_{e}}$${\displaystyle I_{\text{ion}}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle I_{\text{app}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{i}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{e}}$${\displaystyle A_{m}}$${\displaystyle C_{m}}$${\displaystyle \Omega _{H}}$

このバージョンのバイドメインモデルの境界条件は、心臓の外側に細胞内電位の流れがないという仮定によって得られます。つまり、 は心臓領域の境界を表し、 はの外向きの単位法線を表します。^[2]$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\cdot \mathbf {n} +{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\Sigma }$$${\displaystyle \Sigma =\partial \Omega _{H}}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \Sigma }$

モノドメインモデルは、いくつかの非生理学的な仮定にもかかわらず、少なくとも膜電位に関するものに関しては現実的な電気生理学的現象を表現できる、バイドメインモデルの単純化である。^{[2] [1]}${\displaystyle V_{m}}$

標準的な定式化は次の偏微分方程式であり、その唯一の未知数は膜電位である。 ここで、は細胞内および細胞外の伝導率テンソルを関連付けるパラメータである。^[2]${\displaystyle V_{m}}$$${\displaystyle \chi C_{m}{\frac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}\quad \quad {\text{in }}\Omega _{H}}$$${\displaystyle \lambda }$

このモデルに用いられる境界条件は^{[9]である。} $${\displaystyle \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\partial \Omega _{H}.}$$

心電図の順問題では、胴体は受動導体とみなされ、そのモデルは準静的仮定の下でマクスウェル方程式から導くことができる。 ^{[1] [2]}

標準的な定式化は、1つの未知のスカラー場、すなわち胴体電位を持つ偏微分方程式で構成されています。基本的に、胴体モデルは次の一般化ラプラス方程式です。 ここで、は導電率テンソル、は心臓、つまり人間の胴体を囲む領域です。 ^[2]${\displaystyle u_{T}}$ $${\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{T},}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{T}}$${\displaystyle \Omega _{T}}$

バイドメインモデルに関しては、いくつかの仮定の後にマクスウェル方程式と連続方程式から胴体モデルを導くことができる。まず、体内の電気的および磁気的活動は低レベルで生成されるため、準静的仮定を考慮することができる。したがって、体は受動導体と見なすことができ、その容量性、誘導性、および伝播効果は無視できる。^[1]

準静的仮定の下では、マクスウェル方程式は^[1] であり 、連続方程式は^{[1]である。}$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \times \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} \end{cases}}}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =0.}$$

回転角がゼロなので、電界はスカラー電位場の勾配、すなわち胴体電位によって表すことができる。

ここで負の符号は電流が電位の高い領域から低い領域へ流れることを意味する。^[1]

そして、総電流密度は伝導電流と他の異なる印加電流の観点から表現することができ、連続方程式から、^[1]

次に、（１）を（２） に代入すると、$${\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=\nabla \cdot \mathbf {J} _{\text{app}}=I_{v}}$$

は単位体積あたりの電流である。 ^[1]${\displaystyle I_{v}}$

最後に、心臓以外には胴体内に電流源がないので、単位体積あたりの電流はゼロに設定することができ、胴体内の拡散問題の標準的な定式化を表す一般化ラプラス方程式を与える^[1] $${\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{T}.}$$

境界条件は、胴体を取り囲む媒体、つまり身体の周りの空気の特性を考慮します。一般的に、空気は導電率がゼロであるため、電流は胴体の外側に流れません。これは次の式に変換されます^[1] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} _{T}=0\quad \quad {\text{on }}\Gamma _{T}}$$

ここで、は胴体に対する単位外法線であり、は胴体境界、つまり胴体表面である。^{[1] [2]}${\displaystyle \mathbf {n} _{T}}$${\displaystyle \Gamma _{T}}$

通常、胴体は等方性導電率を持つと考えられており、これは電流がすべての方向に同じように流れることを意味します。しかし、胴体は空または均質なエンベロープではなく、実験的に得られる異なる導電率係数を特徴とするさまざまな臓器が含まれています。骨と肺を考慮した胴体の導電率パラメータの簡単な例を次の表に示します。^[2]

電気活動モデルと胴体モデル間の結合は、心外膜、すなわち心臓と胴体との界面における適切な境界条件によって実現される。^{[1] [2]}

心臓-胴体モデルは、2つの領域間の完全な電気伝達が考慮される場合は完全に結合できますが、心臓の電気モデルと胴体モデルがそれらの間の限定されたまたは不完全な情報交換で別々に解決される場合は結合を解除できます。^[2]

心臓と胴体の間の完全な結合は、心臓と胴体の間に完全な電気伝達条件を課すことによって達成される。これは、細胞外電位と胴体電位の関係を確立する次の2つの式を考慮することによって行われる^[2]。 これらの式は、心外膜を横切る電位と電流の両方の連続性を保証する。^[2]$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{e}&=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} _{e}&=-({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} _{T}\quad &{\text{on }}\Sigma .\end{aligned}}}$$

これらの境界条件を使用すると、心臓の電気活動のバイドメインモデルまたはモノドメインモデルのいずれかを考慮した、2つの異なる完全に結合した心臓-胴体モデルを得ることができます。数値的な観点から見ると、2つのモデルは計算コストが非常に高く、計算コストは​​似ています。^[2]

心臓と胴体の間の完全な電気的結合を表す境界条件は、最もよく使用され、古典的なものである。しかし、心臓と胴体の間には心膜があり、これは電気伝達に特定の影響を与える漿液を含む二重壁の袋である。心膜が持つ静電容量 と抵抗効果を考慮すると、この効果を考慮した代替境界条件は次のように定式化できる^[10]。${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle R_{p}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{p}{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} &=R_{p}C_{p}{\frac {\partial (u_{T}-u_{e})}{\partial t}}+(u_{T}-u_{e})\quad \quad &{\text{on }}\Sigma \\{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} &={\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} \quad \quad &{\text{on }}\Sigma \end{aligned}}}$$

心臓の電気活動のバイドメインモデルを考慮した、完全に結合した心臓-胴体モデルの完全な形は^[2] で、最初の4つの方程式はバイドメインモデル、イオンモデル、胴体モデルを表す偏微分方程式であり、残りの方程式はバイドメインモデルと胴体モデルの境界条件とそれらの間の結合条件を表しています。^[2]$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]{\dfrac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} +({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma \\[1ex]u_{e}=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\end{cases}}}$$

心臓の電気的活動に対するモノドメインモデルを考慮した心臓-胴体完全結合モデルは、バイドメイン問題よりも複雑です。実際、結合条件は胴体電位と細胞外電位を関連付けますが、これはモノドメインモデルでは計算されません。したがって、バイドメインモデルの2番目の方程式も使用する必要があり（モノドメインモデルが導出されたのと同じ仮定の下で）、次の式が得られます^。[2] $${\displaystyle \nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{H}.}$$

この方法では、結合条件を変更する必要がなく、完全な心臓胴体モデルは2つの異なるブロックで構成されます。^[2]

• まず、通常の境界条件を持つモノドメイン モデルを解く必要があります。$${\displaystyle {\begin{cases}\chi C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\dfrac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\partial \Omega _{H}.\end{cases}}}$$
• 次に、細胞外電位、胴体モデル、結合条件の計算を含む結合モデルを解く必要があります。$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{e}=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \end{cases}}}$$

心臓と胴体が完全に結合したモデルは非常に詳細なモデルですが、解くのに計算コストもかかります。^[2]心臓が心臓から完全に電気的に分離されているとみなす、いわゆる非結合仮定によって、簡素化が可能です。 ^[2]数学的には、電流が心外膜を横切って心臓から胴体まで流れないことを前提としています。つまり、^[2] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\Sigma .}$$

この方程式を完全結合モデルの境界条件に適用すると、2つの非結合心臓胴体モデルを得ることができ、電気モデルを胴体モデルとは別に解くことで計算コストを削減することができます。^[2]

心臓の電気的活動を表すためにバイドメインを使用する完全に結合した心臓胴体モデルの非結合バージョンは、2つの分離された部分で構成されています。^[2]

• 孤立した形態のバイドメインモデル$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\{\dfrac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} +({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma \\{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma .\end{cases}}}$$
• 標準的な定式化における胴体拡散モデル、潜在的連続性条件$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{T}=u_{e}&{\text{on }}\Sigma \\\end{cases}}}$$

モノドメインモデルを使用する完全結合心臓胴体モデルの場合と同様に、対応する非結合モデルでも細胞外電位を計算する必要がある。この場合、3つの異なる独立した問題を解決する必要があります。^[2]

• 通常の境界条件を持つモノドメインモデル:$${\displaystyle {\begin{cases}\chi C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\dfrac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\partial \Omega _{H}.\end{cases}}}$$
• 細胞内電流の流れを規定しない心外膜上の境界条件で細胞外電位を計算する問題:$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =-({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \end{cases}}}$$
• 心外膜におけるポテンシャル連続境界条件を備えた胴体拡散モデル:$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{T}=u_{e}&{\text{on }}\Sigma \\\end{cases}}}$$

完全に結合した、または結合していない心臓-胴体モデルを解くことで、人間の胴体のあらゆる点、特に胴体の表面全体で心臓によって生成される電位を得ることができます。胴体上の電極の位置を定義すると、そのような点の電位の時間的変化を見つけることができます。次に、次の式を考慮して、たとえば12の標準誘導に従って心電図を計算できます^[2]。 ここで、およびは電極の標準的な位置です。^[2]$${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {I} &=u_{T}(L)-u_{T}(R)\\\mathrm {II} &=u_{T}(F)-u_{T}(R)\\\mathrm {III} &=u_{T}(F)-u_{T}(L)\\\mathrm {aVR} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(R)-u_{w})\\\mathrm {aVL} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(L)-u_{w})\\\mathrm {aVF} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(F)-u_{w})\\\mathrm {V} _{i}&=u_{T}(V_{i})-u_{w}\quad i=1,\dots ,6\end{cases}}}$$${\displaystyle u_{W}=(u_{T}(L)+u_{T}(R)+u_{T}(F))/3}$${\displaystyle L,R,F,\{V_{i}\}_{i=1}^{6}}$

心臓胴体モデルは、未知数が空間と時間の両方の関数である偏微分方程式で表現されます。これらは、通常、常微分方程式のシステムで表現されるイオンモデルと結合されます。これらの問題を解くために、さまざまな数値スキームを使用できます。通常、空間離散化には有限要素法が適用され、時間離散化には半暗黙的な差分スキームが使用されます。^{[1] [2]}

心臓と胴体の非結合モデルは、心臓の電気モデルを胴体のモデルとは別に解くことができるため、数値的に扱うのが最も簡単で、それぞれを解くための古典的な数値手法を適用できます。つまり、バイドメインモデルとモノドメインモデルは、たとえば時間離散化の後方微分式を使用して解くことができますが、細胞外電位と胴体電位を計算する問題は、時間に依存しないため、有限要素法のみを適用することで簡単に解くことができます。^{[1] [2]}

一方、心臓と胴体を完全に結合したモデルはより複雑で、より洗練された数値モデルを必要とします。例えば、心臓の挙動の電気的シミュレーションにバイドメインモデルを使用する心臓と胴体を完全に結合したモデルは、ディリクレ-ノイマン領域分割などの領域分割技術を考慮して解くことができます。^{[2] [11]}

完全結合モデルまたは非結合モデルを使用して心電図をシミュレートするには、人体の胴体の3次元再構成が必要です。今日では、MRIやCTなどの診断画像技術は、人体の解剖学的部位を詳細に再構成し、適切な胴体形状を得ることができる十分に正確な画像を提供できます。たとえば、Visible Human Data ^[13]は、骨格構造や筋肉を含む内臓の詳細を備えた3次元胴体モデルを作成するのに役立つデータセットです。^[1]

結果が非常に詳細であっても、3次元モデルを解くのは通常非常に高価です。可能な単純化は、3つの結合された常微分方程式に基づく動的モデルです。^[3]

心拍の準周期性は、平面上の吸引限界サイクルの周りの3次元軌道によって再現されます。心電図の主なピークであるP、Q、R、S、Tは固定角度で表され、次の3つの常微分方程式を与えます^[3]${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \theta _{P},\theta _{Q},\theta _{R},\theta _{S}{\text{ and }}\theta _{T}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\alpha z-\omega y\\[1ex]y'&=\alpha y+\omega x\\[1ex]z'&=\textstyle -\sum _{i\in \{P,Q,R,S,T\}}a_{i}\Delta \theta _{i}{\text{exp}}\left(-{\Delta \theta _{i}^{2}}/{2b_{i}^{2}}\right)-(z-z_{0})\end{aligned}}}$$ と、、${\textstyle \alpha =1-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$${\displaystyle \Delta \theta _{i}=(\theta -\theta _{i}){\bmod {(}}2\pi )}$${\displaystyle \theta ={\text{atan}}2(y,x)}$

これらの方程式は、常微分方程式のルンゲ・クッタ法のような古典的な数値アルゴリズムで簡単に解くことができます。^[3]

• モノドメインモデル
• バイドメインモデル
• 心電図検査