モノドメインモデル

モノドメインモデルは、心筋組織における電気伝播のバイドメインモデルの簡略化です。簡略化は、細胞内ドメインと細胞外ドメインの異方性比が等しいと仮定することから生じます。バイドメインモデルほど生理学的に正確ではありませんが、それでも場合によっては十分であり、複雑さが軽減されています。^[1]

空間領域であり、最終時間であるため、モノドメインモデルは次のように定式化できる^[2]${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle T}$ $${\displaystyle {\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right)\quad \quad {\text{in }}\mathbb {T} \times (0,T),}$$

ここで、は細胞内伝導テンソル、は膜電位、は単位面積あたりの膜イオン電流、は単位面積あたりの膜容量、は細胞内外伝導率比、は単位体積（組織）あたりの膜表面積です。^[1]${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{i}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle I_{\text{ion}}}$${\displaystyle C_{m}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \chi }$

モノドメインモデルは、バイドメインモデルから簡単に導出できる。このバイドメインモデルは次のように記述できる^[1]。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)&=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right)\\\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)&=0\end{aligned}}}$$

異方性比が等しいと仮定すると、2番目の式は次のように表される^[1]。${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{e}=\lambda \mathbf {\Sigma } _{i}}$ $${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=-{\frac {1}{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right).}$$

これを最初の二領域方程式に代入すると、単一領域モデルの唯一の方程式が得られる^[1] $${\displaystyle {\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right).}$$

バイドメインモデルとは異なり、モノドメインモデルは通常、孤立境界条件を備えており、これはドメイン（通常は心臓）からまたはドメインへ流れる電流がないと仮定することを意味します。^{[3] [4]}数学的には、これはゼロ膜電位フラックス（均質ノイマン境界条件）を課すことによって行われます。つまり、^[4]

${\displaystyle (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v)\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\partial \mathbb {T} \times (0,T)}$

ここで、は領域の単位外向き法線であり、は領域の境界です。 ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \partial \mathbb {T} }$

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