バイドメインモデル

バイドメインモデルは、心臓の電気的活動を定義する数学モデルです。これは連続体（体積平均）アプローチで構成され、シート状にグループ化された筋繊維の観点から心臓の微細構造を定義し、異方性特性を持つ複雑な3次元構造を作成します。次に、電気的活動を定義するために、細胞内ドメインと細胞外ドメインという2つの相互浸透ドメインが考慮され、それぞれ細胞内の空間と細胞間の領域を表します。^[1]

バイドメインモデルは1969年にシュミットによって初めて提案され^[2]、 1970年代後半に数学的に定式化されました。^{[3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]}

これは連続体モデルであるため、各細胞を個別に記述するのではなく、複雑な構造に組織化された細胞群の平均的な特性と動作を表します。したがって、このモデルは複雑なものとなり、ケーブル理論を高次元に一般化したものと考えることができ、いわゆるバイドメイン方程式を定義します。^{[11] [12]}

バイドメインモデルの興味深い特性の多くは、不等方性比の条件から生じます。異方性組織の電気伝導率はすべての方向で一意ではありませんが、繊維の方向に対して平行方向と垂直方向で異なります。さらに、不等方性比の組織では、繊維に平行な方向と垂直な方向の伝導率の比率が細胞内と細胞外の空間で異なります。たとえば、心臓組織では、細胞内空間の異方性比は約 10:1 ですが、細胞外空間では約 5:2 です。^[13] 数学的には、不等方性比は、一方向の距離スケールの変更によって異方性の影響を取り除くことができないことを意味します。^[14] むしろ、異方性は電気的挙動にさらに大きな影響を及ぼします。^[15]

不等方性比の影​​響の3つの例は以下のとおりです。

• 心臓組織のシートを単極刺激したときの膜電位の分布、 ^[16]
• 心臓組織を伝播する活動電位波面によって生成される磁場、[ ^17]
• 電気ショック時の膜電位分布に対する繊維曲率の影響^[18]

バイドメインドメインは、主に2つの主要な領域、すなわち細胞内ドメインと呼ばれる心臓細胞と、細胞外ドメインと呼ばれるそれらの周囲の空間によって表される。さらに、通常は心筋外領域と呼ばれる別の領域も考慮される。細胞膜によって分離された細胞内ドメインと細胞外ドメインは、心臓を表す固有の物理空間（）であると考えられており、心筋外ドメインはそれらに隣接する固有の物理空間（）である。心筋外領域は、特に実験条件をシミュレートしたい場合には流体浴として、または生理学的条件をシミュレートする人間の胴体として考えることができる。 ^[12] 定義された2つの主要な物理ドメインの境界は、バイドメインモデルを解く上で重要である。ここで、心臓境界は と表され、胴体ドメイン境界は^{[12]と表される。}${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \partial \mathbb {H} }$${\displaystyle \partial \mathbb {T} .}$

バイドメインモデルにおける未知数は、細胞内電位、細胞外電位、細胞膜を挟んだ電位差として定義される膜間電位の3つである。^[12]${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle v_{e}}$ ${\displaystyle v}$${\displaystyle v=v_{i}-v_{e}}$

さらに、いくつかの重要なパラメータ、特に細胞内伝導テンソル行列、細胞外伝導テンソル行列を考慮する必要があります。膜貫通電流は細胞内領域と細胞外領域の間を流れ、膜上の単位面積あたりのイオン電流によって部分的に説明されます。さらに、単位面積あたりの膜容量と細胞膜の表面積と体積の比は、次のセクションで説明するバイドメインモデルの定式化を導くために考慮する必要があります。^[12]${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{i}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{e}}$${\displaystyle I_{\text{イオン}}}$${\displaystyle C_{m}}$${\displaystyle \chi}$

バイドメインモデルは2つの偏微分方程式（PDE）によって定義され、最初の方程式は膜電位に関する反応拡散方程式であり、2番目の方程式は与えられた膜電位分布から細胞外電位を計算する。^[12]

したがって、バイドメインモデルは次のように定式化できる。 ここで、およびは印加された外部刺激電流として定義できる。^[12]$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)-I_{s_{1}}\\[1ex]&\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+ \mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)=-\nabla \cdot \left(\mathbf {\シグマ } _{i}\nabla v\right)+I_{s_{2}}\end{alignedat}}}$$${\displaystyle I_{s_{1}}}$${\displaystyle I_{s_{2}}}$

イオン電流は通常、常微分方程式（ODE）のシステムによるイオンモデルによって表される。数学的には、はイオン変数と呼ばれる。一般に、すべての に対して、システムは次のように表される^[19]${\displaystyle I_{\text{ion}}=I_{\text{ion}}(v,\mathbf {w} )}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle t>0}$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}=\mathbf {F} (v,\mathbf {w} )&{\text{in }}\mathbb {H} \\\mathbf {w} (t=0)=\mathbf {w} _{0}&{\text{in }}\mathbb {H} \end{cases}}}$$

様々なイオンモデルが提案されている：^[19]

• 現象論的モデルは最も単純なモデルであり、細胞のマクロ的な動作を再現するために使用されます。
• 生理学的モデルは、マクロ的な動作と細胞生理学の両方を考慮し、最も重要なイオン電流を非常に詳細に記述します。

場合によっては、心筋外領域が考慮される。これは、心筋外領域内の電位伝播を記述する方程式をバイドメインモデルに追加することを意味する。^[12]

^{通常、この方程式は[12]}型の単純な一般化ラプラス方程式であり 、は心筋外領域の電位であり、は対応する導電率テンソルである。 $${\displaystyle -\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{0}\nabla v_{0})=0\quad \mathbf {x} \in \mathbb {T} }$$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{0}}$

さらに、孤立領域仮定が考慮され、これは 心筋外領域の外側に向けられた単位法線として以下の境界条件が追加されることを意味する。^[12]$${\displaystyle (\mathbf {\Sigma } _{0}\nabla v_{0})\cdot \mathbf {n} _{0}=0\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {T} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{0}}$

心筋外領域が人間の胴体である場合、このモデルは心電図学の前進問題を引き起こす。^[12]

二領域方程式は、いくつかの簡略化を考慮して、電磁気学のマクスウェル方程式から導出されます。 ^[12]

最初の仮定は、細胞内電流は細胞内と細胞外領域の間でのみ流れ、細胞内と心筋外領域は相互に通信できるため、電流は心筋外領域に出入りできるが、細胞外空間でのみ流れるというものである。^[12]

オームの法則と準静的仮定を用いると、スカラー電位場の勾配は電界を記述することができ、これは^[12]${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \mathbf {E} }$ $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi .}$$

そして、電界の電流密度を表すと、2つの式が得られます^[12]。 ここで、下付き文字と はそれぞれ細胞内と細胞外の量を表します。^[12]${\displaystyle J}$${\displaystyle \mathbf {E} }$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}J_{i}&=-\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i}\\J_{e}&=-\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}.\end{alignedat}}}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle e}$

2つ目の仮定は、心臓が隔離されており、一方の領域から出た電流はもう一方の領域に流れ込む必要があるというものである。この場合、細胞内領域と細胞外領域のそれぞれの電流密度は大きさが等しく、符号が反対でなければならない。これは、細胞膜の表面積と体積の比と単位面積あたりの膜貫通イオン電流密度の積として定義することができ、これは次のことを意味する。^[12]${\displaystyle I_{m}}$ $${\displaystyle -\nabla \cdot J_{i}=\nabla \cdot J_{e}=\chi I_{m}.}$$

これまでの仮定を組み合わせると、電流密度の保存則が得られる。すなわち^[12]

そこから、２つの式を足し合わせると^[12]

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})=-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}).}$$

この式は、ある領域から出た電流はすべて他の領域に入らなければならないことを正確に述べています。^[12]

ここから、両辺から減算することで、バイドメインモデルの2番目の方程式を簡単に見つけることができます。実際、^[12] および膜電位が次のように定義されていることがわかっているので、 ^[12] 次に、膜電位がわかれば、細胞外電位を復元できます。 ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})}$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})=-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e})-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})}$$${\displaystyle v=v_{i}-v_{e}}$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v)=-\nabla \cdot ((\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e})\nabla v_{e}).}$$

そして、細胞膜を流れる電流はケーブル方程式でモデル化することができる。^[12]

式( 1 )と式( 2 )を組み合わせると^[12] が得られる。最後に、左辺を 足し算と引き算して整理すると、膜電位の時間的変化を記述する二領域モデルの最初の式^[12]が得られる 。 $${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{ion}\right).}$$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})}$${\displaystyle v=v_{i}-v_{e}}$ $${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right),}$$

標準定式化のセクションで説明した最終的な定式化は、外部印加電流およびを通じて与えられる可能性のある外部刺激を考慮した一般化によって得られる。[ ^12]${\displaystyle I_{s_{1}}}$${\displaystyle I_{s_{2}}}$

モデルを解くためには境界条件が必要である。より古典的な境界条件はTungによって定式化された以下のものである。^[6]

まず、導出セクションで述べたように、細胞内と心筋外の領域の間には電流は流れない。これは数学的に次のように記述できる^[12]。 ここで、は心臓の心筋表面に対して外向きの単位法線を表すベクトルである。細胞内電位はバイドメイン定式化では明示的に示されていないため、この状態は通常、膜貫通電位と細胞外電位の観点から記述され、つまり^{[12]であることがわかっている。}$${\displaystyle (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})\cdot \mathbf {n} =0\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} }$$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle v=v_{i}-v_{e}}$ $${\displaystyle (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v)\cdot \mathbf {n} =-(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})\cdot \mathbf {n} \quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .}$$

細胞外電位については、心筋領域が提示されている場合、細胞外領域と心筋外領域の間の流れのバランスが考慮される^[12] ここでは、両方の領域の観点からの法線ベクトルが考慮されるため、負の符号が必要である。さらに、心臓境界での電位の完全な伝達が必要であり、次の式が得られる^[12]。$${\displaystyle \left(\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}\right)\cdot \mathbf {n} _{e}=-\left(\mathbf {\Sigma } _{0}\nabla v_{0}\right)\cdot \mathbf {n} _{0}\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .}$$ $${\displaystyle v_{e}=v_{0}\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .}$$

代わりに、心臓が孤立していると考えられる場合、つまり心筋領域が存在しない場合には、細胞外問題の境界条件は^{[12]となる。} $${\displaystyle \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)\cdot \mathbf {n} =-\left((\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e})\nabla v_{e}\right)\cdot \mathbf {n} \quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .}$$

細胞内ドメインと細胞外ドメインの異方性比が等しいと仮定すると、つまりあるスカラーに対して、モデルは単一ドメイン方程式と呼ばれる1つの方程式に簡略化され、 ここで唯一の変数は膜電位となり、導電率テンソルはとの組み合わせになります^[12]${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{i}=\lambda \mathbf {\Sigma } _{e}}$${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } \nabla v)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)-I_{s}}$$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{i}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{e}.}$

心臓を孤立した組織とみなすと、つまり心臓の外側に電流が流れないと考えると、境界条件付きの最終的な定式化は次のようになる^[12]。 $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)-I_{s_{1}}&\mathbf {x} \in \mathbb {H} \\[1ex]\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)=-\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+I_{s_{2}}&\mathbf {x} \in \mathbb {H} \\[1ex]\mathbf {\Sigma } _{i}(\nabla v+\nabla v_{e})\cdot \mathbf {n} =0&\mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} \\[1ex]\left[\mathbf {\Sigma } _{i}(\nabla v+\nabla v_{e})+\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}\right]\cdot \mathbf {n} =0&\mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} \end{cases}}}$$

二領域方程式を解くには様々な手法が考えられます。その中には、有限差分法、有限要素法、有限体積法などがあります。数値収束には高い時間分解能と空間分解能が必要であるため、これらの方程式の数値解法には特別な考慮が必要です。^{[20] [21]}

• モノドメインモデル
• 心電図学の今後の課題

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