ファトゥの補題

数学において、ファトゥの補題は、関数の列の劣位極限のルベーグ積分と、これらの関数の積分の劣位極限を関連付ける不等式を確立する。この補題はピエール・ファトゥにちなんで名付けられている。

ファトゥの補題は、ファトゥ-ルベーグの定理とルベーグの優勢収束定理を証明するために使用できます。

標準ステートメント

以下では、は上のボレル集合の -代数を表します。 $\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$ $\sigma$ $[0,+\infty ]$

定理 - ファトゥの補題。測度空間と集合が与えられ、が -可測な非負関数の列であるとします。任意のに対してによって関数を定義します。するとは-可測であり、 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ $X\in {\mathcal {F}},$ $\{f_{n}\}$ $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$ $f_{n}:X\to [0,+\infty ]$ $f:X\to [0,+\infty ]$ $f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x),$ $x\in X$ $f$ $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$

\int _{X}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu ,

ここで、積分と下限値は無限大になる場合があります。

ファトゥの補題は、その仮定がほぼどこでも成り立つ限り真です。言い換えれば、任意のに対して値が非負となるような空集合があれば十分です。これを確認するには、上の各関数を変更しても、ファトゥの補題に現れる積分は変化しないことに注目してください。 $\mu$ $N$ $\{f_{n}(x)\}$ ${x\in X\setminus N}.$ $N$

証拠

ファトゥの補題は単調収束定理を必要としないが、単調収束定理は迅速かつ自然な証明を提供するために使用できる。積分の定義から直接得られる証明は、以下に示す。

単調収束定理による

とします。すると、次のようになります。 $\textstyle g_{n}(x)=\inf _{k\geq n}f_{k}(x)$

シーケンスは任意の $x$ において点ごとに非減少であり、 $\{g_{n}(x)\}_{n}$
$g_{n}\leq f_{n}$ 、。 $\forall n\in \mathbb {N}$

以来

f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x)=\sup _{n}\inf _{k\geq n}f_{k}(x)=\sup _{n}g_{n}(x)

、

測定可能な関数の最小値と最大値は測定可能であり、測定可能であることがわかります。 $f$

単調収束定理と性質(1)により、supとintegralは入れ替えることができる。

{\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\int _{X}\sup _{n}g_{n}\,d\mu \\&=\sup _{n}\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&=\liminf _{n\to \infty }\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu ,\end{aligned}}

最後のステップでは特性（2）を使用しました。

「第一原理」から

単調収束定理が「隠れた」ものではないことを示すために、以下の証明では、ここで確立されたものと関数およびが測定可能であるという事実を除いて、ルベーグ積分のいかなる特性も使用しません。 $f$ $g_{n}$

上でとなるような単純な-測定可能な関数の集合をで表します。 $\operatorname {SF} (f)$ $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$ $s:X\to [0,\infty )$ $0\leq s\leq f$ $X$

単調性 —

どこでも $f\leq g$ $X,$

\int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .

もし、そして $X_{1},X_{2}\in {\mathcal {F}}$ $X_{1}\subseteq X_{2},$

\int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .

$f$ が非負で、（は-測定可能な集合の非減少連鎖）である場合、 $S=\cup _{i=1}^{\infty }S_{i}$ $S_{1}\subseteq \ldots \subseteq S_{i}\subseteq \ldots \subseteq S$ $\mu$

\int _{S}{f\,d\mu }=\lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}

証拠

1.私たちは $f\leq g,$

\operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g).

ルベーグ積分の定義と上限値の性質により、

\int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .

2.を集合の指示関数とする。ルベーグ積分の定義から、 ${\mathbf {1} }_{X_{1}}$ $X_{1}.$

\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu =\int _{X_{1}}f\,d\mu

の外側のすべてについて、前の性質と組み合わせると、不等式は次を意味することに気づく。 $s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}),$ $s=0$ $X_{1}.$ $f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f$

\int _{X_{1}}f\,d\mu =\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .

3.まず、測度の単調性により、 $f が$ 集合の指示関数である場合に主張が成り立つことに注目してください。線形性により、これは単純な関数に対する主張も直ちに意味します。

$S n$ 上でサポートされている任意の単純な関数は単純であり、 $X$ 上でサポートされているため、

\int _{X}{f\,d\mu }\geq \lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}

。

逆に、 $g \in SF(f)$ とすると、 $\textstyle \int _{X}{f\,d\mu }-\epsilon \leq \int _{X}{g\,d\mu }$

\int _{X}{f\,d\mu }-\epsilon \leq \int _{X}{g\,d\mu }=\lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{g\,d\mu }}\leq \lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}

さて、主要な定理に移ります。

ステップ 1 — は、すべてのに対して、と同様に、 -測定可能です。 $g_{n}=g_{n}(x)$ $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$ $n\geq 1$ $f$

証拠

閉区間はボレル $σ$ 代数を生成することを思い出してください。したがって、任意のに対してであることを示すだけで十分です。次に、次の点に注目してください。 $t\in [-\infty ,+\infty ]$ $g_{n}^{-1}([t,+\infty ])\in {\mathcal {F}}$

{\begin{aligned}g_{n}^{-1}([t,+\infty ])&=\left\{x\in X\mid g_{n}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\left\{x\in X\;\left|\;\inf _{k\,\geq \,n}f_{k}(x)\geq t\right.\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k\,\geq \,n}\left\{x\in X\mid f_{k}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k\,\geq \,n}f_{k}^{-1}([t,+\infty ])\end{aligned}}

右側のすべての集合はから成り、は可算な共通部分に関して閉じています。したがって、左側もの要素です。 ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$

同様に、任意のに対してであることを証明すれば十分である。列は点ごとに非減少なので、 $f^{-1}([0,t])\in {\mathcal {F}}$ $t\in [-\infty ,+\infty ]$ $\{g_{n}(x)\}$

f^{-1}([0,t])=\bigcap _{n}g_{n}^{-1}([0,t])\in {\mathcal {F}}

。

ステップ2 — 単純な関数と実数が与えられた場合、定義する $s\in \operatorname {SF} (f)$ $t\in (0,1)$

B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq g_{k}(x)\}\subseteq X.

次に、、および。 $B_{k}^{s,t}\in {\mathcal {F}}$ $B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}$ $\textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}$

証拠

ステップ2a.最初の主張を証明するために、 $sを$ 互いに素な集合の指示関数の加重和として書きます。

s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot \mathbf {1} _{A_{i}}

。

それから

B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}^{m}{\Bigl (}g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}

。

測定可能な関数によるボレル集合の逆像は測定可能であり、-代数は有限交差および有限和に対して閉じているので、最初の主張は成り立ちます。 $g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}$ $[t\cdot c_{i},+\infty ]$ $g_{k}$ $\sigma$

ステップ2b. 2番目の主張を証明するには、すべてのに対して、 $k$ $x\in X$ $g_{k}(x)\leq g_{k+1}(x).$

ステップ2c. 3番目の主張を証明するために、矛盾が存在すると仮定する。

x_{0}\in X\setminus \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=\bigcap _{k}(X\setminus B_{k}^{s,t})

すると、任意のに対してとなる。極限をとすると、 $g_{k}(x_{0})<t\cdot s(x_{0})$ $k$ $k\to \infty$

f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).

これは当初の仮定と矛盾します。 $s\leq f$

ステップ3 — ステップ2と単調性から、

\lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s\,d\mu =\int _{X}s\,d\mu .

ステップ4 — ごとに、 $s\in \operatorname {SF} (f)$

\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu

。

証拠

実際、の定義、の非負性、およびルベーグ積分の単調性を用いると、 $B_{k}^{s,t}$ $g_{k}$

\forall k\geq 1\qquad \int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t}}g_{k}\,d\mu \leq \int _{X}g_{k}\,d\mu

。

ステップ4に従って、不等式は $k\to \infty$

t\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu

。

限界を利回りとして取ると $t\uparrow 1$

\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu

、

必要に応じて。

ステップ 5 — 証明を完了するために、ステップ 4 で確立した不等式にルベーグ積分の定義を適用し、次の点を考慮します。 $g_{n}\leq f_{n}$

{\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\sup _{s\in \operatorname {SF} (f)}\int _{X}s\,d\mu \\&\leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&=\liminf _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&\leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \end{aligned}}

証明は完了しました。

厳密な不等式の例

空間にボレルσ代数とルベーグ測度を装備します。 $S$

確率空間の例:単位区間をとします。すべての自然数に対して定義します。 $S=[0,1]$ $n$

f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\text{for }}x\in (0,1/n),\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

一様収束の例: をすべての実数の集合とします。定義します。 $S$

f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [0,n],\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

これらのシーケンスは、点ごとに（それぞれ一様に）ゼロ関数（積分はゼロ）に収束しますが、すべてに積分値が 1 あります。 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $S$ $f_{n}$

非否定性の役割

ファトゥの補題では、関数列f ₁、f ₂、…の負の部分に関する適切な仮定が必要である。次の例が示す通りである。S はボレルσ代数とルベーグ測度を持つ半直線 [0,∞) を表すものとする。任意の自然数nに対して定義する。

f_{n}(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [n,2n],\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

このシーケンスはS上で一様に零関数に収束し、有限数のステップで極限 0 に到達します。つまり、すべてのx ≥ 0 に対して、 $n > x$ であれば、f _n ( x ) = 0 となります。ただし、すべての関数f _nには積分 -1 があります。ファトゥの補題に反して、この値は極限 (0) の積分よりも厳密に小さくなります。

以下の § ファトゥの補題の拡張と変形で説明するように、問題は、上からは 0 が均一な境界であるのに対し、下からはシーケンスに均一な積分可能な境界が存在しないことです。

逆ファトゥ補題

f ₁ , f ₂ , . . .を測度空間 ( S , Σ , μ ) 上で定義された拡張された実数値可測関数の列とする。S上の非負の可積分関数gが存在し、すべてのnに対してf _n ≤ g が成り立つ場合、

\limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu .

注:ここでg が積分可能であるということは、gが測定可能であり、であることを意味します。 $\textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty$

証拠のスケッチ

このシーケンスはほぼどこでも - かつ非負として定義されているため、ルベーグ積分の線形性とファトゥの補題をシーケンスに適用します。 $g-f_{n}.$ $\textstyle \int _{S}g\,d\mu <+\infty ,$ $\mu$

ファトゥの補題の拡張と変形

積分可能な下限

f ₁ , f _{2 , . . . を測度空間 (}S , Σ , μ )上で定義された拡張された実数値測定可能関数の列とする。S上の積分可能関数g が存在し、すべてのnに対してf _n ≥ − g が成り立つ場合、

\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .

証拠

f _n + gで与えられる非負シーケンスに Fatou の補題を適用します。

点ごとの収束

前述の設定で、列f ₁、f ₂、…が S上のほぼすべての点で関数f μに点収束する場合、

\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.

証拠

f は関数f _nの下限値とほぼどこでも一致する必要があり、測度ゼロの集合上の積分関数の値は積分値に影響を与えないことに注意してください。

測定の収束

最後の主張は、シーケンスf ₁、f ₂、...が関数fに収束する場合にも当てはまります。

証拠

次のような部分列が存在する。

\lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .

この部分列もfに収束するため、ほぼすべての点でfに点ごとに収束するさらなる部分列が存在し、したがって、ファトゥの補題の前の変形がこの部分部分列に適用できます。

さまざまな尺度によるファトゥの補題

ファトゥの補題の上記のすべての記述において、積分は単一の固定測度μに関して実行された。μnが_測定空間（S、Σ）上の測度の列であると仮定し、（測度の収束を参照）

\forall E\in {\mathcal {F}}\colon \;\mu _{n}(E)\to \mu (E)

。

そして、f _n個の非負の積分可能な関数と、それらの点ごとの極限を下回る fとすると、

\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu _{n}.

条件付き期待値に対するファトゥの補題

確率論では、表記を変更することで、上記のファトゥの補題のバージョンを確率空間上で定義されたランダム変数のシーケンス X ₁、X ₂、...に適用できます。積分は期待値になります。さらに、条件付き期待値のバージョンもあります。 $\scriptstyle (\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,\mathbb {P} )$

標準バージョン

X ₁、X ₂、...を確率空間上の非負確率変数の列とし、を部分σ代数とする。すると $\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ $\scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}$

\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

ほぼ確実に。

注:非負のランダム変数の条件付き期待値は常に適切に定義されており、有限の期待値は必要ありません。

証拠

表記法の変更を除けば、証明は上記の Fatou の補題の標準バージョンの証明と非常に似ていますが、条件付き期待値の単調収束定理を適用する必要があります。

XをX _nの下限とする。すべての自然数kに対して、点ごとに確率変数を定義する。

Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}.

すると、数列Y ₁、 Y ₂、…は増加し、点ごとにXに収束します。k ≤ nの場合、Y k ≤ X _nとなり _、

\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

ほぼ確実に

条件付き期待値の単調性により、

\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

ほぼ確実に、

なぜなら、確率がゼロの例外集合の可算和は再びヌル集合となるからである。Xの定義、 Y _kの点ごとの極限としての表現、条件付き期待値の単調収束定理、最後の不等式、および下位の極限の定義を使用すると、ほぼ確実に

{\begin{aligned}\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Bigl [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\\&\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}].\end{aligned}}

一様積分可能な負の部分への拡張

X ₁ , X ₂ , . . .を確率空間上のランダム変数の列とし、を部分σ代数とする。負の部分が $\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ $\scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}$

X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\},\qquad n\in {\mathbb {N} },

は条件付き期待値に関して一様積分可能であり、ε > 0 に対してc > 0 が存在し、

\mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon ,\qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}

、

それから

\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

ほぼ確実です。

注:セットでは

X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}

満足する

\mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty ,

不等式の左辺は正の無限大であると考えられます。負の部分の条件付き期待値も正の無限大である可能性があるため、このセットでは極限劣位の条件付き期待値は適切に定義されない可能性があります。

証拠

ε > 0とする。条件付き期待値に関して一様積分性があるため、c > 0が存在し、

\mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}.

以来

X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+},

ここで、x ⁺ := max{ x ,0} は実数xの正の部分を表し、条件付き期待値の単調性（または上記の慣例）と条件付き期待値に対するファトゥの補題の標準バージョンは、

\mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]

ほぼ確実です。

以来

(X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}},

我々は持っています

\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+c+\varepsilon

ほぼ確実に、

したがって

\mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+\varepsilon

ほぼ確実です。

これはその主張を意味します。

参考文献

カロザース、NL（2000）。実分析。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。pp.321-22。ISBN 0-521-49756-6。
ロイデン、HL（1988年）。実分析（第3版）。ロンドン：コリアー・マクミラン。ISBN 0-02-404151-3。
ウィアー、アラン J. (1973)。「収束定理」。ルベーグ積分と測度。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。93～118 ページ。ISBN 0-521-08728-7。

標準ステートメント

証拠

単調収束定理による

「第一原理」から

厳密な不等式の例

非否定性の役割

逆ファトゥ補題

証拠のスケッチ

ファトゥの補題の拡張と変形

積分可能な下限

証拠

点ごとの収束

証拠

測定の収束

証拠

さまざまな尺度によるファトゥの補題

条件付き期待値に対するファトゥの補題

標準バージョン

証拠

一様積分可能な負の部分への拡張

証拠

参考文献

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