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統計的仮説検定において、帰無分布とは帰無仮説が真である場合の検定統計量の確率分布である。 [1] たとえば、F検定では、帰無分布はF分布である。[2] 帰無分布は、科学者が実験を行う際によく使用するツールである。帰無分布とは、帰無仮説に基づく2組のデータの分布である。2組のデータの結果が予想される結果のパラメータの範囲外にない場合、帰無仮説は真であるとされる。
応用例
帰無仮説は、多くの場合、実験の一部です。帰無仮説は、2 セットのデータのうち、1 つのことを行った場合と別のことを行った場合の結果に統計的な差がないことを示そうとします。この例として、科学者が、1 日に 2 マイル歩く人は 1 日に 2 マイル未満しか歩かない人よりも心臓が健康であることを証明しようとしているとします。科学者は帰無仮説を使用して、1 日に 2 マイル歩く人の心臓の健康状態と、1 日に 2 マイル未満しか歩かない人の心臓の健康状態を検定します。心拍数に差がなければ、科学者は検定統計量が帰無分布に従うと言うことができます。その後、科学者は、有意差がある場合、検定が代替分布に従うことを意味すると判断できます。
帰無分布の取得
仮説検定の手順では、検定を実施してタイプ I の誤りを制御するために、検定統計量の結合分布を形成する必要があります。ただし、真の分布は不明であることが多く、データを表すには適切な帰無分布を使用する必要があります。たとえば、1 サンプルと 2 サンプルの平均検定では、ガウス帰無分布を持つt統計量を使用できますが、 kグループの母集団平均を検定するF統計量は、ガウスの二次関数で帰無分布を形成します。 [3]帰無分布は、周辺帰無分布に基づく、帰無分位変換された検定統計量の漸近分布として定義されます。[4]実際には、帰無分布の検定統計量は、未知のデータ生成分布に依存するため、不明であることがよくあります。ノンパラメトリックまたはモデルベースのブートストラップなどの再サンプリング手順は、帰無分布の一貫した推定値を提供できます。帰無分布の不適切な選択は、検定プロセスにおけるタイプ I の誤りと検出力の特性に大きな影響を与えます。検定統計量のヌル分布を取得する別の方法は、ヌル分布推定を生成するデータを使用することです。
大きなサンプルサイズでのヌル分布
帰無分布は大規模検定において重要な役割を果たします。サンプルサイズが大きいと、より現実的な経験的帰無分布を実装できます。経験的帰無分布は、 MLEフィッティングアルゴリズムを使用して生成できます。[5]ベイジアンフレームワークでは、大規模研究では、帰無分布を非帰無分布とともに確率的なコンテキストに置くことができます。サンプルサイズnが10,000を超えるなど大きい場合、経験的帰無分布は研究独自のデータを使用して適切な帰無分布を推定します。重要な前提は、帰無ケースの割合が大きいため(> 0.9)、データは帰無分布自体を示すことができるということです。理論的な帰無は場合によっては失敗することがありますが、これは完全に間違っているわけではありませんが、それに応じて調整する必要があります。大規模なデータセットでは、独立した同一分布(iid)サンプルなど、理想的な数学的フレームワークからのデータの偏差を簡単に見つけることができます。さらに、サンプリング単位間の相関と観測されない共変量により、間違った理論的帰無分布が生じる可能性があります。[6]順列法は、データから生成された経験的帰無分布を得るために多重検定で頻繁に使用されます。経験的帰無法は、エフロンの論文の中心マッチングアルゴリズムで導入されました。 [7]
順列法を使用する際には、いくつかの点を考慮する必要があります。順列法は相関のあるサンプリング単位には適していません。順列法のサンプリングプロセスは独立性を意味し、iid仮定を必要とするためです。さらに、文献では、nが大きくなるにつれて、順列分布はN(0,1)に急速に収束することが示されている。場合によっては、経験的アルゴリズムでN(0,1)を置換する順列ヌルを使用することで、順列法と経験的方法を組み合わせることができます。[8]
参考文献
- ^ ステイリー、ケント W.科学哲学入門2014年、p. 142。ISBN 9780521112499。
- ^ ジャクソン、サリー・アン. ANOVAにおけるランダム因子. 1994年. p. 38. ISBN 9780803950900。
- ^ Dudoit, S.、およびMJ Van Der Laan。「ゲノム科学への応用を伴う複数のテスト手順。2008 年。」
- ^ Van Der Laan、Mark J.、およびAlan E. Hubbard。「再サンプリングベースの多重検定における分位関数ベースのヌル分布」遺伝学および分子生物学における統計的応用5.1（2006）：1199。
- ^ エフロン、ブラッドリー、トレバー・ハスティー。『コンピューター時代の統計的推論』ケンブリッジ大学出版局、2016年。
- ^ エフロン、ブラッドリー。大規模推論：推定、テスト、予測のための経験的ベイズ法。ケンブリッジ大学出版局、2012年。
- ^ エフロン、ブラッドリー。「大規模同時仮説検定：帰無仮説の選択」アメリカ統計学会誌99.465（2004）：96-104。
- ^ エフロン、ブラッドリー。大規模推論：推定、テスト、予測のための経験的ベイズ法。ケンブリッジ大学出版局、2012年。