準多項式

数学において、準多項式（擬似多項式）は多項式の一般化です。多項式の係数は環から来ますが、準多項式の係数は整数周期の周期関数です。準多項式は、さまざまなオブジェクトの列挙子として、組み合わせ論の多くの場面で登場します。

準多項式は と書くことができます。ここで は整数周期の周期関数です。 が常にゼロでない場合、 の次数はです。同様に、のときに となる多項式が存在する場合、関数は準多項式です。これらの多項式はの構成要素と呼ばれます。 ${\displaystyle q(k)=c_{d}(k)k^{d}+c_{d-1}(k)k^{d-1}+\cdots +c_{0}(k)}$${\displaystyle c_{i}(k)}$${\displaystyle c_{d}(k)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle d}$${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$${\displaystyle p_{0},\dots ,p_{s-1}}$${\displaystyle f(n)=p_{i}(n)}$${\displaystyle i\equiv n{\bmod {s}}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle f}$

• 有理頂点を持つ次元多面体が与えられたとき、を の凸包として定義します。関数 は次数 のの準多項式です。この場合、は関数 です。これはEugène EhrhartにちなんでEhrhart 準多項式として知られています。${\displaystyle d}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$${\displaystyle tP}$${\displaystyle tv_{1},\dots ,tv_{n}}$${\displaystyle L(P,t)=\#(tP\cap \mathbb {Z} ^{d})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle d}$${\displaystyle L(P,t)}$${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$
• 2つの準多項式とが与えられたとき、とを畳み込むと、${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle (F*G)(k)=\sum _{m=0}^{k}F(m)G(km)}$

これは次数${\displaystyle \leq \deg F+\deg G+1.}$

• スタンレー、リチャード P. ( 1997)。列挙的組合せ論、第 1 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-55309-1、0-521-56069-1 。