オイラーの運動法則

古典力学において、オイラーの運動法則は、点粒子に対するニュートンの運動法則を剛体の運動に拡張した運動方程式である。^[¹^]これらは、アイザック・ニュートンが法則を定式化してから約50年後にレオンハルト・オイラーによって定式化された。

概要

オイラーの第一法則

オイラーの第一法則は、剛体の線運動量 $p$ の変化率は、その物体に作用するすべての外力 $F ext の合力に等しいと述べている。$ ^{[ 2 ]}

$\mathbf {F} _{\text{ext}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}.$

物体を構成する粒子間の内部力は、物体の運動量の変化には寄与しない。なぜなら、等しい大きさで反対向きの力が働くため、正味の効果がないからである。^{[ 3 ]}

剛体の線運動量は、物体の質量と重心の速度v $cm の$ 積である。^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

オイラーの第二法則

オイラーの第2法則は、慣性座標系に固定された点（多くの場合、物体の重心）の周りの角運動量 $L$ の変化率は、その点の周りの物体に作用する外力モーメント（トルク） $M$ の合計に等しいと述べています。^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} $\mathbf {M} ={d\mathbf {L} \over dt}。$

上記の式は、 $M$ と $L の$ 両方が固定慣性座標系または慣性座標系に平行だが重心に固定された座標系に関して計算される場合にのみ有効であることに注意してください。2 次元のみで並進および回転する剛体の場合、これは次のように表すことができます。^{[ 6 ]} $\mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}}m+I{\boldsymbol {\alpha }},$ どこ：

$r cm$ は、モーメントが合計される点に対する物体の重心の位置ベクトルです。
$1 cm$ は物体の重心の線形加速度であり、
$m$ は物体の質量であり、
$α$ は物体の角加速度であり
$I$ は、物体の重心周りの慣性モーメントである。

オイラー方程式（剛体動力学）も参照してください。

説明と導出

変形可能な物体の内部力の分布は必ずしも全体に均一ではなく、つまり応力は場所によって変化します。物体全体にわたるこの内部力の変化は、ニュートンの運動の第2法則である線運動量と角運動量の保存則によって支配されます。この法則は最も単純な用途では質量粒子に適用されますが、連続体力学では連続的に分布した質量を持つ物体に拡張されます。連続体の場合、これらの法則はオイラーの運動法則と呼ばれます。^{[ 7 ]}

$質量m$ 、質量密度 $ρ$ 、体積 $V$ の連続体に作用する総体積力は、物体の体積全体にわたって積分された体積積分である。

$\mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV$

ここで、 $b$ は単位質量あたりに物体に作用する力（加速度の次元であり、誤解を招く表現で「物体力」と呼ばれる）であり、 $dm = ρ dV は$ 物体の微小質量要素である。

物体に作用する体積力と接触力は、特定の点に対するそれらの力の対応するモーメント（トルク）をもたらします。したがって、原点周りの総トルク $Mは次のように与えられます。$

$\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}}$

ここで、 $M B$ と $M C は$ それぞれ、物体力と接触力によって生じるモーメントを示す。

したがって、物体に作用するすべての外力とトルク（座標系の原点に関するもの）の合計は、体積積分と面積積分の和として表すことができる。

$\mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV$ $\mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.$

ここで、 $t = t (n)は$ 表面牽引力と呼ばれ、物体の表面全体にわたって積分され、 $n は$ 表面 $S$ に対して外向きの法線単位ベクトルを表します。

座標系 $(x 1, x 2, x 3)を$ 慣性座標系とし、 $r$ を座標系の原点に対する連続体内の点粒子の位置ベクトル、 $v = d r / dt をその点の速度ベクトルとする$ 。

オイラーの第一公理または法則（線運動量の平衡法則または力の平衡法則）は、慣性系において、連続体の任意の部分の線運動量 $p$ の時間変化率は、その部分に作用する全外力 $F$ に等しいことを述べており、次のように表される。

${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}&=\mathbf {F} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}$

オイラーの第二公理または法則（角運動量保存則またはトルク保存則）は、慣性系において、連続体の任意の部分の角運動量 $L$ の時間変化率は、その部分に作用する総トルク $M$ に等しく、次のように表される。

${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {M} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}$

どこ $\mathbf {v}$ 速度は、 $V$ 体積、および $p$ と $L$ の導関数は物質導関数である。

参考文献

1 2 3 McGill and King (1995). Engineering Mechanics, An Introduction to Dynamics (3rd ed.). PWS Publishing Company. ISBN 0-534-93399-8。
↑剛体の運動方程式2021年6月6日取得
↑ Gray, Gary L.; Costanzo, Plesha (2010). Engineering Mechanics: Dynamics . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-282871-9。
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1 2 Rao, Anil Vithala (2006). Dynamics of particles and rigid bodies . Cambridge University Press. p. 355. ISBN 978-0-521-85811-3。
↑ Ruina, Andy; Pratap, Rudra (2002). Introduction to Statics and Dynamics (PDF) . Oxford University Press. p. 771 . 2011-10-18に取得.
↑ルブリナー、ジェイコブ（2008）。塑性理論（PDF）（改訂版）。ドーバー出版。27-28頁。ISBN 978-0-486-46290-52010年3月31日にオリジナル（PDF）からアーカイブされました。

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関連項目

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