仕事（電場）

電場仕事とは、近傍の荷電粒子に対して電場が行う仕事のことである。単位電荷あたりの仕事は、2点間における微弱な試験電荷の移動として定義され、それらの点における電位差として表される。この仕事は、例えば発電機（電気化学セル）や起電力を発生させる熱電対などによって行うことができる。

電場による仕事は、物理学における他の力場による仕事と形式的に同等であり、^{[ 1 ]}電気的な仕事の形式は機械的な仕事の形式と同一である。

自由に移動できる粒子は、正に帯電している場合は通常、電位の低い領域（正味負電荷）に向かう傾向があり、負に帯電した粒子は電位の高い領域（正味正電荷）に向かう傾向がある。

正電荷をより高い電位の領域へ移動させるには、電場に逆らって外部から仕事を行う必要があり、その仕事量は、電場がその正電荷を同じ距離だけ反対方向に移動させる際に行う仕事量に等しい。同様に、負電荷を帯びた粒子をより高い電位の領域からより低い電位の領域へ移動させるには、正の外部からの仕事が必要となる。

キルヒホッフの電圧法則は、電気回路および電子回路を支配する最も基本的な法則の1つであり、あらゆる電気回路における電圧の上昇と降下の合計は常にゼロになることを示している。

電気的な仕事の形式は、機械的な仕事の形式と同等の形式を持つ。2点間で無視できるほどの試験電荷を移動させる際の単位電荷あたりの仕事は、その2点間の電圧として定義される。

${\displaystyle W=Q\int _{a}^{b}\mathbf {E} \cdot \,d\mathbf {r} =Q\int _{a}^{b}{\frac {\mathbf {F_{E}} }{Q}}\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F_{E}} \cdot \,d\mathbf {r} }$

どこ

Qは粒子の電荷である

Eは電場であり、ある場所における電場は、その場所における力を単位電荷（「試験電荷」）で割った値である。

F _Eはクーロン（電気）力です

rは変位です

${\displaystyle \cdot }$はドット積演算子です

空虚空間に帯電した物体 Q+ が与えられた。q+ をQ+ に近づけるには (開始して)$\displaystyle r_{0}=\infty }$（便宜上、位置エネルギーは0とする）クーロン場に逆らう外力を加える必要があり、正の仕事が行われる。数学的には、保存力の定義を用いると、この力は位置エネルギー勾配と次のように関係づけられることがわかる。

$\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{ext}}$

ここで、U(r)は、発生源Qから距離rにあるq+のポテンシャルエネルギーです。したがって、積分してクーロンの法則を力に適用すると、次のようになります。

${\displaystyle U(r)=\Delta U=\int _{r_{0}}^{r}\mathbf {F} _{ext}\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{r_{0}}^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{\mathbf {r^{2}} }}\cdot \,d\mathbf {r} =-{\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {1}{r_{0}}}-{\frac {1}{r}}\right)={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}}$

今度は、その関係性を使って

${\displaystyle W=-\Delta U\!}$

点電荷q+を無限遠から距離rまで移動させるために外部から行われる仕事が次のようになることを示す。

${\displaystyle W_{ext}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}}$

これは、Wの定義を用いてFをrに関して積分することによっても同様に得られ、上記の関係が証明される。

この例では両方の電荷が正ですが、この式はあらゆる電荷配置に適用できます（電荷の積は、それらの類似性に応じて正または負になります）。もし前の例で電荷の一方が負だった場合、その電荷を無限遠まで引き離すのに必要な仕事は、前の例でその電荷を元の位置に戻すのに必要な仕事と全く同じになります。これは数学的に容易に理解できます。積分範囲を反転させると符号が反転するからです。

電力とは、電気回路で伝達されるエネルギーの速度のことである。偏微分で表すと、仕事の時間変化として表される。

${\displaystyle P={\frac {\partial W}{\partial t}}={\frac {\partial QV}{\partial t}}}$、

ここでVは電圧である。仕事は次のように定義される。

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \delta t,}$

したがって

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}=\mathbf {F_{E}} \cdot \,\mathbf {v} }$