エアハルト多項式

数学では、整多面体には、多面体の体積と多面体に含まれる整数点の数との関係を表すエーアハルト多項式が関連付けられています。エーアハルト多項式の理論は、ユークリッド平面におけるピックの定理の高次元一般化と見ることができます。

これらの多項式は、1960 年代に研究した Eugène Ehrhartにちなんで命名されました。

非公式には、Pが多面体であり、tP が各次元でP をt倍して拡大することによって形成される多面体である場合、L ( P、t ) はtP内の整数格子点の数です。

より正式には、ユークリッド空間の格子 と、多面体のすべての頂点が格子の点であるという性質を持つ d 次元多面体 P を考えます。(一般的な例は、すべての頂点が整数座標を持つ多面体です。) 任意の正の整数tに対して、tP をPのt倍の拡大(格子の基底の各頂点座標にtの係数を乗じて形成される多面体) とし、 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\mathbb {Z} ^{n}}$

${\displaystyle L(P,t)=\#\left(tP\cap {\mathcal {L}}\right)}$

多面体tPに含まれる格子点の数とする。Ehrhart は 1962 年にL がtの次数dの有理多項式であること、つまり、次のような有理数が存在することを示した。 ${\displaystyle L_{0}(P),\dots ,L_{d}(P)}$

${\displaystyle L(P,t)=L_{d}(P)t^{d}+L_{d-1}(P)t^{d-1}+\cdots +L_{0}(P)}$

すべての正の整数t^{に対して[1} ]

閉じた凸多面体Pの内部の Ehrhart 多項式は次のように計算できます。

${\displaystyle L(\operatorname {int} (P),t)=(-1)^{d}L(P,-t),}$

ここでdはPの次元である。この結果はエアハート・マクドナルドの相互性として知られている。^[2]

Pをd次元単位 超立方体とし、その頂点は座標が0か1の整数格子点とする。不等式を用いると、

${\displaystyle P=\left\{x\in \mathbb {R} ^{d}:0\leq x_{i}\leq 1;1\leq i\leq d\right\}.}$

すると、Pのt倍拡大は、辺の長さがtで、( t +1) ^d個の整数点を含む立方体になる。つまり、超立方体のエアハルト多項式はL ( P , t )=( t +1) ^dである。^{[3] [4]さらに、} L ( P , t )を負の整数で評価すると、

${\displaystyle L(P,-t)=(-1)^{d}(t-1)^{d}=(-1)^{d}L(\operatorname {int} (P),t),}$

エアハート・マクドナルドの相互関係から予想される通りです。

他の多くの図形数は、エアハルト多項式として表すことができます。たとえば、正方錐数は、底辺が整数単位平方で高さが 1 の正方錐のエアハルト多項式で表されます。この場合のエアハルト多項式は⁠1/6⁠ ( t + 1)( t + 2)(2 t + 3) . ^[5]

Pを有理多面体とする。言い換えれば、

${\displaystyle P=\left\{x\in \mathbb {R} ^{d}:Ax\leq b\right\},}$

ここで、（同様に、Pは内の有限個の点の凸包である）そして定義する ${\displaystyle A\in \mathbb {Q} ^{k\times d}}$${\displaystyle b\in \mathbb {Q} ^{k}.}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{d}.}$

${\displaystyle L(P,t)=\#\left(\left\{x\in \mathbb {Z} ^{d}:Ax\leq tb\right\}\right).}$

この場合、L ( P , t ) はtの準多項式です。整多面体の場合と同様に、エアハート・マクドナルドの相互法則が成り立ちます。

${\displaystyle L(\operatorname {int} (P),t)=(-1)^{d}L(P,-t).}$

Pを頂点(0,0)、(0,2)、(1,1)、( ⁠3/2⁠ , 0）。tPの整数点の数は準多項式^{[6]によって数えられる。}

${\displaystyle L(P,t)={\frac {7t^{2}}{4}}+{\frac {5t}{2}}+{\frac {7+(-1)^{t}}{8}}.}$

Pが閉じている場合（つまり境界面がPに属している場合）、 L ( P , t )の係数のいくつかは簡単に解釈できます。

• 主係数は、 Pのd次元体積をd ( L )で割ったものに等しい（格子の内容または共体積d ( L )の説明については格子を参照）。${\displaystyle L_{d}(P)}$

• ２番目の係数は次のように計算できる。格子L はPの任意の面F上に格子L _{F を}誘導する。 Fの( d − 1)次元体積を取り、それを2 d ( L _F )で割り、その数をPのすべての面に加える。${\displaystyle L_{d-1}(P)}$

• 定数係数 はPのオイラー特性です。P が閉じた凸多面体の場合、です。${\displaystyle L_{0}(P)}$${\displaystyle L_{0}(P)=1}$

ウルリッヒ・ベトケとマーティン・クネザー^[7]は、エアハルト係数の次の特徴を確立した。積分多面体上で定義された関数は、実数が存在する場合のみ、かつ並進不変な値である。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle c_{0},\ldots ,c_{n}}$

${\displaystyle Z=c_{0}L_{0}+\cdots +c_{n}L_{n}.}$

d次元の整多面体PのEhrhart多項式の生成関数を次のように 定義できる。

${\displaystyle \operatorname {Ehr} _{P}(z)=\sum _{t\geq 0}L(P,t)z^{t}.}$

この級数は有理関数として表すことができる。具体的には、エアハートは（1962）複素数、が存在し、 Pのエアハート級数が^{[1]となることを証明した。}${\displaystyle h_{j}^{*}}$${\displaystyle 0\leq j\leq d}$

${\displaystyle \operatorname {Ehr} _{P}(z)={\frac {\sum _{j=0}^{d}h_{j}^{\ast }(P)z^{j}}{(1-z)^{d+1}}},\qquad \sum _{j=0}^{d}h_{j}^{\ast }(P)\neq 0.}$

さらに、リチャード・P・スタンレーの非負性定理によれば、与えられた仮定の下では、は非負の整数になります。 ${\displaystyle h_{j}^{*}}$${\displaystyle 0\leq j\leq d}$

スタンレーによる別の結果は、 P がQに含まれる格子多面体であれば、すべてのjに対してとなることを示している。^[8] - ベクトルは一般に単峰性ではないが、対称性があり、多面体が正則なユニモジュラ三角形分割を持つ場合は常に単峰性となる。^[9]${\displaystyle h_{j}^{*}(P)\leq h_{j}^{*}(Q)}$${\displaystyle h^{*}}$

整数頂点を持つ多面体の場合と同様に、有理多面体に対してはエールハルト級数が定義される。d次元有理多面体P（DはDPが整数多面体となる最小の整数）に対しては 、

${\displaystyle \operatorname {Ehr} _{P}(z)=\sum _{t\geq 0}L(P,t)z^{t}={\frac {\sum _{j=0}^{D(d+1)}h_{j}^{\ast }(P)z^{j}}{\left(1-z^{D}\right)^{d+1}}},}$

ここでも負でない整数である。^{[10] [11]}${\displaystyle h_{j}^{*}}$

多項式の非主係数の表現 ${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{d-1}}$

${\displaystyle L(P,t)=\sum _{r=0}^{d}c_{r}t^{r}}$

上限がある可能性がある：^[12]

${\displaystyle c_{r}\leq (-1)^{d-r}{\begin{bmatrix}d\\r\end{bmatrix}}c_{d}+{\frac {(-1)^{d-r-1}}{(d-1)!}}{\begin{bmatrix}d\\r+1\end{bmatrix}}}$

ここで、は第一種スターリング数である。下限値も存在する。^[13]${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}n\\k\end{smallmatrix}}\right]}$

これらの命題のおよびの場合はピックの定理になります。他の係数の公式を得るのははるかに困難です。この目的のために、トーリック多様体のトッド類、リーマン・ロッホの定理、およびフーリエ解析が使用されてきました。 ${\displaystyle n=d=2}$${\displaystyle t=1}$

X がPの正規扇に対応するトーリック多様体である場合、P はX上に豊富な直線束を定義し、Pのエールハルト多項式はこの直線束の ヒルベルト多項式と一致する。

エアハルト多項式はそれ自体のために研究することができます。例えば、エアハルト多項式の根に関連する質問をすることができます。^[14]さらに、一部の著者は、これらの多項式をどのように分類できるかという問題を追求してきました。^[15]

Pのいくつかの面を拡大し、他の面は拡大しない場合は、多面体P内の整数点の数を調べることができます。言い換えると、半拡大多面体の整数点の数を知りたいということです。このような計数関数は、多変量準多項式と呼ばれるものになります。このような計数関数には、エアハルト型の相互性定理も当てはまります。^[16]

多面体の半膨張における整数点の数を数えることは、正多角形の異なる分割の数や、符号理論の分野における特定の種類のコードである非同型無制限コードの数を列挙する際に応用されている^[ 17 ] 。

• 準多項式
• スタンレーの相互性定理

• ディアス、リカルド; ロビンズ、シナイ (1996)、「格子n単体の Ehrhart 多項式」、アメリカ数学会電子研究発表、2 : 1–6、doi : 10.1090/S1079-6762-96-00001-7、MR  1405963フーリエ解析アプローチを紹介し、他の関連記事への参照を示します。
• Mustață, Mircea (2005 年 2 月)、「Ehrhart 多項式」、トーリック多様体に関する講義ノート。