因子トポロジー

数学、より具体的には一般位相において、因子位相は集合上の特定の位相である。${\displaystyle X=\{2,3,4,...\}}$2以上の正の整数の半順序関係の除数位相である。除数位相は、整数の除数の半順序関係の半順序位相である。${\displaystyle X}$。

セット${\displaystyle S_{n}=\{x\in X:x\mathop {|} n\}}$のために${\displaystyle n=2,3,...}$除数トポロジー^{[ 1 ]}の基底を形成する${\displaystyle X}$表記法${\displaystyle x\mathop {|} n}$手段${\displaystyle x}$はの約数です${\displaystyle n}$。

この位相における開集合は、によって定義される半順序の下位集合である。${\displaystyle x\leq y}$もし${\displaystyle x\mathop {|} y}$閉集合は、この半順序における上位集合です。

以下の性質はすべて^{[ 1 ]}で証明されているか、定義から直接導かれる。

• 点の閉鎖${\displaystyle x\in X}$は、すべての倍数の集合です。${\displaystyle x}$。
• ある点が与えられた場合${\displaystyle x\in X}$最小の近隣地域は${\displaystyle x}$すなわち、基本開集合${\displaystyle S_{x}}$の約数の${\displaystyle x}$。したがって、因子位相はアレクサンドロフ位相である。
• ${\displaystyle X}$これはT ₀空間です。実際、2点が与えられた場合${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$と${\displaystyle x<y}$開放的な近隣地域${\displaystyle S_{x}}$の${\displaystyle x}$含まない${\displaystyle y}$。
• ${\displaystyle X}$はT ₁空間ではない。なぜなら、どの点も閉じていないからである。したがって、${\displaystyle X}$ハウスドルフではない。
• 孤立した点${\displaystyle X}$は素数です。
• 素数の集合は${\displaystyle X}$実際、すべての稠密な開集合にはすべての素数が含まれる必要があり、したがって${\displaystyle X}$ベールの空間です。
• ${\displaystyle X}$は第二可算名詞です。
• ${\displaystyle X}$シングルトンの閉包は超連結である${\displaystyle \{x\}}$そして${\displaystyle \{y\}}$製品を含む${\displaystyle xy}$共通要素として。
• したがって${\displaystyle X}$通常の空間です。しかし${\displaystyle X}$完全に正常とは言えません。たとえば、シングルトン${\displaystyle \{6\}}$そして${\displaystyle \{4\}}$これらは分離した集合である（6は4の倍数ではなく、4も6の倍数ではない）が、互いに素な開近傍は存在しない。なぜなら、それぞれの最小の開近傍は非自明に交わるからである。${\displaystyle S_{6}\cap S_{4}=S_{2}}$。
• ${\displaystyle X}$普通の空間ではなく、基本的な近隣地域${\displaystyle S_{x}}$は有限であるが、点の閉包は無限である。
• ${\displaystyle X}$接続済み、ローカル接続済み、パス接続済み、ローカルパス接続済み。
• ${\displaystyle X}$これは散在空間であり、空でない各部分集合には最初の要素があり、それは集合の孤立した要素である。
• コンパクトサブセット​${\displaystyle X}$は有限部分集合です。${\displaystyle A\subseteq X}$すべての基本開集合の集合によってカバーされる${\displaystyle S_{n}}$それぞれ有限であり、${\displaystyle A}$有限個のものによってのみ覆われる場合、それ自体も有限でなければならない。特に、${\displaystyle X}$コンパクトではありません。
• ${\displaystyle X}$各点がコンパクトな近傍を持つという意味で、局所的にコンパクトである（${\displaystyle S_{x}}$は有限です）。しかし、点には閉じたコンパクトな近傍がありません（${\displaystyle X}$（局所的に相対コンパクトではない。）

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover Publications による 1978 年版の復刻版 ), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3MR 0507446​